Номер 612, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

612. Найдите угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $(\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} - \vec{n}) = -11$, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 3$.

Чтобы найти угол между векторами, сначала найдем их скалярное произведение. Для этого раскроем скобки в заданном уравнении, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} - \vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} - \vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot \vec{m} - 3\vec{n} \cdot \vec{n}$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$) и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), упростим выражение:

$|\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = -11$

Подставим в это уравнение известные значения длин векторов $|\vec{m}| = 2$ и $|\vec{n}| = 3$:

$2^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 3^2 = -11$

$4 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 9 = -11$

$4 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 27 = -11$

$2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 23 = -11$

Теперь решим уравнение относительно скалярного произведения $\vec{m} \cdot \vec{n}$:

$2(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 23 - 11$

$2(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 12$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 6$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ определяется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$

Подставим известные и найденные значения:

$\cos(\alpha) = \frac{6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Угол, косинус которого равен 1, это $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.