Номер 615, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

615. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Известно, что $OB = OC = 1$, $OA = 2$, $OD = 3$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $DC$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку пересечения диагоналей O. Так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны, мы можем расположить их на осях координат. Пусть диагональ AC лежит на оси Oy, а диагональ BD — на оси Ox.

Определим координаты вершин четырехугольника ABCD на основе данных в условии длин отрезков:
- Точка A: $OA = 2$. Пусть $A = (0, 2)$.
- Точка C: $OC = 1$. Так как C лежит на той же оси, что и A, но по другую сторону от O, ее координаты $C = (0, -1)$.
- Точка B: $OB = 1$. Пусть $B = (1, 0)$.
- Точка D: $OD = 3$. Так как D лежит на той же оси, что и B, но по другую сторону от O, ее координаты $D = (-3, 0)$.

Угол между прямыми AB и DC можно найти, определив углы наклона этих прямых. Угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB, проходящей через точки A(0, 2) и B(1, 0):
$k_{AB} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2$

Найдем угловой коэффициент $k_{DC}$ прямой DC, проходящей через точки D(-3, 0) и C(0, -1):
$k_{DC} = \frac{-1 - 0}{0 - (-3)} = -\frac{1}{3}$

Тангенс острого угла $\phi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле:
$\tan(\phi) = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$

Подставим найденные значения $k_{AB}$ и $k_{DC}$:
$\tan(\phi) = \left|\frac{-\frac{1}{3} - (-2)}{1 + (-2) \cdot (-\frac{1}{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{3} + 2}{1 + \frac{2}{3}}\right| = \left|\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}}\right| = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Альтернативное решение (векторный метод):
Найдем векторы, соответствующие сторонам AB и DC:
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\} = \{1 - 0; 0 - 2\} = \{1; -2\}$
$\vec{DC} = \{x_C - x_D; y_C - y_D\} = \{0 - (-3); -1 - 0\} = \{3; -1\}$
Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:
$\cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = 3 + 2 = 5$
Длины (модули) векторов:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$|\vec{DC}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
Косинус угла между векторами:
$\cos(\phi) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Если косинус угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, то угол $\phi$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.