Номер 620, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

620. На высоте правильного треугольника со стороной $6\sqrt{3}$ см как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, расположенной вне треугольника.

1. Найдем высоту правильного треугольника. Пусть сторона треугольника $a = 6\sqrt{3}$ см. Высота $h$ правильного треугольника вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a$:

$h = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

2. По условию, высота является диаметром окружности. Следовательно, диаметр окружности $d = h = 9$ см, а ее радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см. Центр окружности $O$ — середина высоты.

3. Пусть треугольник называется $ABC$, а высота, проведенная из вершины $B$, — это $BH$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Дуга, расположенная вне треугольника, это дуга, соединяющая точки $D$ и $E$ и проходящая через вершину $B$. Для нахождения ее длины необходимо найти соответствующий ей центральный угол.

4. В правильном треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота $BH$ также является биссектрисой, поэтому угол $\angle ABH = \angle CBH = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

5. Точка $D$ лежит на окружности, а $BH$ — ее диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle BDH = 90^\circ$. Треугольник $BHD$ — прямоугольный. В этом треугольнике катет $HD$ лежит против угла $\angle DBH = 30^\circ$. Следовательно, длина $HD$ равна половине гипотенузы $BH$:

$HD = BH \cdot \sin(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$ см.

Аналогично для точки $E$: треугольник $BHE$ прямоугольный, и $HE = BH \cdot \sin(30^\circ) = 4.5$ см.

6. Рассмотрим треугольник $ODH$, где $O$ — центр окружности. Отрезки $OD$ и $OH$ являются радиусами окружности, поэтому $OD = OH = r = 4.5$ см. Мы также нашли, что $HD = 4.5$ см. Таким образом, все стороны треугольника $ODH$ равны, он является равносторонним, и угол $\angle DOH = 60^\circ$.

Аналогично, треугольник $OEH$ также является равносторонним ($OE = OH = HE = 4.5$ см), и угол $\angle EOH = 60^\circ$.

7. Центральный угол, соответствующий дуге $DHE$, которая находится внутри треугольника, равен сумме углов $\angle DOH$ и $\angle EOH$:

$\angle DOE = \angle DOH + \angle EOH = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Дуга, расположенная вне треугольника, является дополнением дуги $DHE$ до полной окружности. Ее градусная мера равна:

$360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

8. Найдем длину этой дуги ($L$) по формуле длины дуги окружности $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, где $\alpha$ — градусная мера дуги:

$L = \frac{240}{360} \cdot 2\pi \cdot 4.5 = \frac{2}{3} \cdot 9\pi = 6\pi$ см.

Ответ: $6\pi$ см.