Номер 4, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Известно, что $\vec{AM} = \vec{MB}$. Какое из данных утверждений верно?

А) точка B – середина отрезка AM

Б) точка A – середина отрезка MB

В) точка M – середина отрезка AB

Г) точка M – вершина равнобедренного треугольника AMB

Равенство векторов $\vec{AM} = \vec{MB}$ означает, что эти векторы являются коллинеарными, сонаправленными и равными по модулю (длине).

1. Сонаправленность и коллинеарность. Вектор $\vec{AM}$ направлен от точки A к точке M. Вектор $\vec{MB}$ направлен от точки M к точке B. Поскольку у этих векторов есть общая точка M (конец первого и начало второго) и они сонаправлены, это означает, что все три точки A, M и B лежат на одной прямой, причём точка M находится строго между точками A и B.

2. Равенство модулей. Из равенства векторов следует равенство их длин: $|\vec{AM}| = |\vec{MB}|$. Это означает, что длина отрезка AM равна длине отрезка MB, то есть $AM = MB$.

Объединив эти два вывода, мы получаем, что точка M лежит на отрезке AB и делит его на две равные части. Это является точным определением середины отрезка. Следовательно, точка M — середина отрезка AB.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

А) точка B – середина отрезка AM
Это утверждение означало бы, что точки лежат в порядке A, B, M на одной прямой и $AB = BM$. Это противоречит нашему выводу, что M лежит между A и B. Следовательно, утверждение неверно.

Б) точка A – середина отрезка MB
Это утверждение означало бы, что точки лежат в порядке M, A, B на одной прямой и $MA = AB$. Это также противоречит нашему выводу. Следовательно, утверждение неверно.

В) точка M – середина отрезка AB
Это утверждение полностью соответствует нашему выводу, что точка M лежит между A и B и $AM = MB$. Следовательно, утверждение верно.

Г) точка M – вершина равнобедренного треугольника AMB
Для того чтобы точки A, M, B образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой (быть коллинеарными). Как мы установили, из условия $\vec{AM} = \vec{MB}$ следует, что точки A, M, B лежат на одной прямой. Таким образом, они не могут образовывать треугольник. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: В)