Номер 3, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Дан параллелограмм ABCD. Какое из равенств является верным?

А) $\vec{AB} = \vec{DC}$

В) $\vec{BC} = \vec{DA}$

Б) $\vec{AB} = \vec{CD}$

Г) $\vec{AC} = \vec{BD}$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определение параллелограмма и свойства равенства векторов.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны и равны по длине. Это означает, что $AB$ параллельна $DC$ и $BC$ параллельна $AD$. Также равны их длины: $|AB| = |DC|$ и $|BC| = |AD|$. Вершины параллелограмма принято называть в порядке обхода (по или против часовой стрелки).

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

Рассмотрим каждое из предложенных равенств:

А) $\vec{AB} = \vec{DC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ лежат на параллельных прямых $AB$ и $DC$. Их длины равны, так как это длины противоположных сторон параллелограмма: $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$. При последовательном обозначении вершин $ABCD$, векторы, направленные от $A$ к $B$ и от $D$ к $C$, будут иметь одинаковое направление. Таким образом, эти векторы равны. Равенство верно.

Б) $\vec{AB} = \vec{CD}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ имеют равные длины ($|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$), но их направления противоположны. Вектор $\vec{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\vec{CD}$ — от $C$ к $D$. Такие векторы являются противоположными, то есть $\vec{AB} = -\vec{CD}$. Равенство неверно.

В) $\vec{BC} = \vec{DA}$
Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ имеют равные длины, так как они соответствуют противоположным сторонам параллелограмма ($|\vec{BC}| = |\vec{DA}| = |AD|$). Однако их направления противоположны. Вектор $\vec{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\vec{DA}$ — от $D$ к $A$. Для них выполняется соотношение $\vec{BC} = -\vec{DA}$ (или, что то же самое, $\vec{BC} = \vec{AD}$). Равенство неверно.

Г) $\vec{AC} = \vec{BD}$
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ представляют собой диагонали параллелограмма. В общем случае диагонали параллелограмма не равны по длине и не параллельны друг другу. Следовательно, эти векторы не могут быть равны. Равенство неверно.

Ответ: Верным является равенство А) $\vec{AB} = \vec{DC}$.