Номер 618, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

618. Точка $M$ – середина диагонали $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ (рис. 145). Докажите, что четырёхугольники $ABMD$ и $CBMD$ равновелики.

618.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точка $M$ – середина диагонали $AC$, следовательно, отрезки $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$.

Площадь четырехугольника $ABMD$ можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые его делит диагональ $BM$: $S_{ABMD} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM}$.

Площадь четырехугольника $CBMD$ можно представить как сумму площадей треугольников $CBM$ и $CDM$: $S_{CBMD} = S_{\triangle CBM} + S_{\triangle CDM}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $BM$ является его медианой, так как соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Это происходит потому, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ имеют равные основания ($AM = MC$) и общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$. Таким образом, их площади равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $DM$ является медианой. Следовательно, он делит этот треугольник на два равновеликих треугольника $\triangle ADM$ и $\triangle CDM$, так как у них также равные основания ($AM = MC$) и общая высота, опущенная из вершины $D$ на прямую $AC$. Таким образом, $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle CDM}$.

Теперь сравним площади четырехугольников $ABMD$ и $CBMD$:
$S_{ABMD} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM}$
$S_{CBMD} = S_{\triangle CBM} + S_{\triangle CDM}$

Так как мы доказали, что $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$ и $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle CDM}$, то и суммы этих площадей равны: $S_{ABMD} = S_{CBMD}$.

Следовательно, четырехугольники $ABMD$ и $CBMD$ равновелики.

Ответ: Четырехугольники $ABMD$ и $CBMD$ равновелики, что и требовалось доказать.

619.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$.

Высота ромба $h$ равна удвоенной длине перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне: $h = 2 \cdot OH$.

По условию задачи, высота ромба $h = 24$ см. Отсюда находим длину $OH$:
$OH = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Перпендикуляр $OH$ делит сторону ромба $AB$ на два отрезка: $AH$ и $HB$. По условию, один из них на 7 см больше другого. Обозначим длину меньшего отрезка $AH$ как $x$ см. Тогда длина большего отрезка $HB$ будет $x + 7$ см.

Длина стороны ромба $AB$ равна сумме длин этих отрезков: $AB = AH + HB = x + (x + 7) = 2x + 7$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике $OH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $OH^2 = AH \cdot HB$.

Подставим известные значения и составим уравнение:
$12^2 = x \cdot (x + 7)$
$144 = x^2 + 7x$
$x^2 + 7x - 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625 = 25^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как $x$ представляет собой длину отрезка, она не может быть отрицательной. Поэтому выбираем корень $x = 9$.
Следовательно, $AH = 9$ см, а $HB = 9 + 7 = 16$ см.

Найдем длину стороны ромба:
$AB = AH + HB = 9 + 16 = 25$ см.

Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны.
$P = 4 \cdot 25 = 100$ см.

Ответ: 100 см.