Номер 5, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Даны точки $A (-3; 4)$, $B (1; -8)$. Точка $M$ – середина отрезка $AB$.

Чему равны координаты вектора $\vec{AM}$?

А) $(2; -6)$

Б) $(-2; 6)$

В) $(-2; -6)$

Г) $(6; -2)$

Для решения задачи необходимо выполнить два шага. Сначала нужно найти координаты точки $M$ — середины отрезка $AB$. Затем, зная координаты точек $A$ и $M$, можно найти координаты вектора $\vec{AM}$.

1. Нахождение координат точки M
Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, координаты его середины $M(x_M; y_M)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим в эти формулы координаты данных точек $A(-3; 4)$ и $B(1; -8)$:
$x_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(-1; -2)$.

2. Нахождение координат вектора $\vec{AM}$
Координаты вектора, заданного начальной и конечной точками, равны разности соответствующих координат конечной и начальной точек. Для вектора $\vec{AM}$ с началом в точке $A(x_A; y_A)$ и концом в точке $M(x_M; y_M)$ формула выглядит так:
$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A)$
Подставим известные координаты точек $A(-3; 4)$ и $M(-1; -2)$:
$x_{\vec{AM}} = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$
$y_{\vec{AM}} = -2 - 4 = -6$
Следовательно, координаты вектора $\vec{AM}$ равны $(2; -6)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом А.

Ответ: А) (2; -6)