Номер 7, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Какое из данных равенств верно?

А) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{CA}$

Б) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

В) $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{BC}$

Г) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{DA}$

А) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$.По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равна вектору $\overrightarrow{AC}$, который соединяет начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C). Таким образом, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Равенство из условия принимает вид $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$.Вектор $\overrightarrow{CA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$.Равенство $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AC}$ выполняется только в том случае, если $\overrightarrow{AC}$ - нулевой вектор, то есть точки A и C совпадают, что в общем случае неверно.Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

Б) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$.Рассмотрим левую часть равенства. По правилу треугольника, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Рассмотрим правую часть равенства. По правилу треугольника, $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$.Подставляя полученные результаты в исходное равенство, получаем тождество $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$.Это равенство верно для любых точек A, B, C, D.Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

В) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$.Разность векторов можно представить как сумму с противоположным вектором: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC})$.Так как $-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$, то левая часть равенства преобразуется к виду $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}$.Поменяв слагаемые местами для удобства применения правила треугольника, получим: $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$.По правилу треугольника, $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$.Равенство $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$ выполняется только если $\overrightarrow{BC}$ - нулевой вектор, то есть точки B и C совпадают, что в общем случае неверно.Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

Г) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA}$.Преобразуем левую часть, используя правило многоугольника (последовательное применение правила треугольника).Сначала сложим первые два вектора: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Теперь добавим третий вектор: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$.По правилу треугольника, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.Таким образом, левая часть равенства равна $\overrightarrow{AD}$.Исходное равенство принимает вид $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$.Вектор $\overrightarrow{DA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AD}$, то есть $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$.Равенство $\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AD}$ выполняется только если $\overrightarrow{AD}$ - нулевой вектор, то есть точки A и D совпадают, что в общем случае неверно.Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.