Номер 1, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Опишите, что такое преобразование фигуры.

1.

Преобразование фигуры в геометрии — это отображение, то есть правило, по которому каждой точке данной фигуры $F$ сопоставляется некоторая единственная точка $F_1$. Фигура $F_1$, состоящая из всех образов точек фигуры $F$, называется образом фигуры $F$ при данном преобразовании.

Если при преобразовании точка $M$ фигуры $F$ переходит в точку $M_1$ фигуры $F_1$, то говорят, что точка $M_1$ является образом точки $M$, а точка $M$ — прообразом точки $M_1$. Это можно записать как $M \rightarrow M_1$.

Преобразования могут изменять фигуру по-разному: сдвигать, поворачивать, отражать, изменять размеры. Основные виды геометрических преобразований, изучаемых в школьном курсе:

• Движение (изометрия). Это преобразование, которое сохраняет расстояние между точками. Если любые две точки фигуры $A$ и $B$ переходят в точки $A_1$ и $B_1$, то расстояние между ними сохраняется: $|AB| = |A_1B_1|$. В результате движения фигура переходит в равную ей фигуру. Основные виды движений:
  • Параллельный перенос: все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
  • Поворот: все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг заданной точки (центра поворота).
  • Симметрия: может быть осевой (относительно прямой-оси) или центральной (относительно точки-центра).
• Преобразование подобия. Это преобразование, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A_1$ и $B_1$ расстояние между образами пропорционально расстоянию между прообразами: $|A_1B_1| = k \cdot |AB|$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия. Фигура переходит в подобную ей фигуру. Если $k=1$, преобразование подобия является движением.
  • Частным случаем преобразования подобия является гомотетия.

Таким образом, преобразование фигуры — это процесс, в результате которого из исходной фигуры получается новая путем применения определенного правила ко всем ее точкам.

Ответ: Преобразование фигуры — это правило, согласно которому каждой точке одной фигуры ($F$) ставится в соответствие единственная точка другой фигуры ($F_1$), причем каждая точка фигуры $F_1$ является образом некоторой точки фигуры $F$. Важнейшими видами преобразований являются движение (изометрия), при котором сохраняются расстояния и фигура переходит в равную ей, и преобразование подобия, при котором все расстояния изменяются в одинаковое число раз ($k$ раз), и фигура переходит в подобную ей.