Номер 3, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Опишите преобразование фигуры $F$, которое называют параллельным переносом на вектор $ \vec{a} $.

Параллельный перенос фигуры $F$ на заданный вектор $\vec{a}$ — это такое преобразование, при котором каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Это направление и расстояние определяются вектором $\vec{a}$.

Более строго, параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется преобразование, которое переводит каждую точку $M$ фигуры $F$ в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство: $\vec{MM'} = \vec{a}$. Геометрически это означает, что для нахождения точки $M'$ нужно отложить от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{a}$. В результате такого преобразования вся фигура $F$ сдвигается как единое целое, без поворотов, отражений или изменений размеров, в направлении вектора $\vec{a}$ на расстояние, равное его длине $|\vec{a}|$.

Если задать фигуру и вектор в системе координат, то преобразование можно описать формулами. Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y)$. Тогда точка $M'$, в которую переходит точка $M$, будет иметь координаты $(x'; y')$, которые вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$

Параллельный перенос обладает следующими ключевыми свойствами:
- Является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
- Сохраняет углы, а значит, и форму фигуры.
- Прямая переходит либо в саму себя (если вектор переноса ей коллинеарен), либо в параллельную ей прямую.
- Любая фигура переходит в равную ей (конгруэнтную) фигуру.

Ответ: Параллельным переносом фигуры $F$ на вектор $\vec{a}$ называют преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры $F$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{MM'} = \vec{a}$.