Номер 10, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Сформулируйте свойство параллельного переноса.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение определяется вектором $\vec{p}$, называемым вектором параллельного переноса. Если точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$ при переносе на вектор $\vec{p}=(a, b)$, то ее новые координаты вычисляются по формулам: $x' = x+a$ и $y' = y+b$.

Основные свойства параллельного переноса:

1. Параллельный перенос является движением (изометрией).

Это главное свойство, которое означает, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$. Из этого следует, что любая фигура переходит в равную (конгруэнтную) ей фигуру. При этом сохраняются углы, площади и объемы.

2. Прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя.

При параллельном переносе образом прямой является прямая. Если вектор переноса коллинеарен (параллелен) исходной прямой, то прямая переходит сама в себя. Если вектор переноса не коллинеарен прямой, то она переходит в другую прямую, параллельную исходной.

3. Вектор смещения постоянен для всех точек.

Для любой точки $M$ и ее образа $M'$ вектор $\vec{MM'}$ равен вектору параллельного переноса $\vec{p}$. Это означает, что все отрезки, соединяющие точки с их образами, параллельны, равны по длине и одинаково направлены.

4. Отсутствие неподвижных точек.

Если вектор переноса не является нулевым ($\vec{p} \neq \vec{0}$), то при параллельном переносе ни одна точка не остается на месте.

5. Композиция параллельных переносов.

Последовательное выполнение двух параллельных переносов на векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ является параллельным переносом на вектор, равный их сумме: $\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$.

6. Существование обратного преобразования.

Для каждого параллельного переноса на вектор $\vec{p}$ существует обратный ему параллельный перенос на вектор $-\vec{p}$.

Ответ: Основными свойствами параллельного переноса являются: 1) это движение, то есть преобразование, сохраняющее расстояния между точками и, как следствие, форму и размеры фигур; 2) любая прямая переходит либо в саму себя, либо в параллельную ей прямую; 3) все точки смещаются на один и тот же вектор, равный вектору переноса.