Страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Опишите, что такое преобразование фигуры.

1.

Преобразование фигуры в геометрии — это отображение, то есть правило, по которому каждой точке данной фигуры $F$ сопоставляется некоторая единственная точка $F_1$. Фигура $F_1$, состоящая из всех образов точек фигуры $F$, называется образом фигуры $F$ при данном преобразовании.

Если при преобразовании точка $M$ фигуры $F$ переходит в точку $M_1$ фигуры $F_1$, то говорят, что точка $M_1$ является образом точки $M$, а точка $M$ — прообразом точки $M_1$. Это можно записать как $M \rightarrow M_1$.

Преобразования могут изменять фигуру по-разному: сдвигать, поворачивать, отражать, изменять размеры. Основные виды геометрических преобразований, изучаемых в школьном курсе:

• Движение (изометрия). Это преобразование, которое сохраняет расстояние между точками. Если любые две точки фигуры $A$ и $B$ переходят в точки $A_1$ и $B_1$, то расстояние между ними сохраняется: $|AB| = |A_1B_1|$. В результате движения фигура переходит в равную ей фигуру. Основные виды движений:
  • Параллельный перенос: все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
  • Поворот: все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг заданной точки (центра поворота).
  • Симметрия: может быть осевой (относительно прямой-оси) или центральной (относительно точки-центра).
• Преобразование подобия. Это преобразование, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A_1$ и $B_1$ расстояние между образами пропорционально расстоянию между прообразами: $|A_1B_1| = k \cdot |AB|$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия. Фигура переходит в подобную ей фигуру. Если $k=1$, преобразование подобия является движением.
  • Частным случаем преобразования подобия является гомотетия.

Таким образом, преобразование фигуры — это процесс, в результате которого из исходной фигуры получается новая путем применения определенного правила ко всем ее точкам.

Ответ: Преобразование фигуры — это правило, согласно которому каждой точке одной фигуры ($F$) ставится в соответствие единственная точка другой фигуры ($F_1$), причем каждая точка фигуры $F_1$ является образом некоторой точки фигуры $F$. Важнейшими видами преобразований являются движение (изометрия), при котором сохраняются расстояния и фигура переходит в равную ей, и преобразование подобия, при котором все расстояния изменяются в одинаковое число раз ($k$ раз), и фигура переходит в подобную ей.

2. Приведите примеры преобразований фигур.

Преобразование фигуры — это правило, по которому каждой точке данной фигуры сопоставляется некоторая точка. В результате все точки фигуры перемещаются, образуя новую фигуру. Ниже приведены основные примеры таких преобразований.

Параллельный перенос

Это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Задается это смещение с помощью вектора, который называется вектором переноса. При параллельном переносе фигура не изменяет своих размеров и формы, а только меняет свое положение, то есть является движением. Представьте, что вы двигаете книгу по столу, не поворачивая ее. Каждая точка на книге переместится на одинаковое расстояние и в одинаковом направлении.

Математически, если точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, а вектор переноса — $\vec{a}(a; b)$, то новая точка $M'$ будет иметь координаты $(x'; y')$, где:
$x' = x + a$
$y' = y + b$

Ответ: Параллельный перенос — это сдвиг фигуры на заданный вектор без изменения ее ориентации и размеров.

Поворот

Это преобразование, при котором фигура поворачивается на определенный угол вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота. Все точки фигуры перемещаются по дугам окружностей с общим центром в центре поворота. Расстояние от любой точки фигуры до центра поворота остается неизменным, поэтому поворот также является движением. Примером может служить вращение стрелок часов вокруг центра циферблата.

Математически, если точка $M(x; y)$ поворачивается вокруг начала координат $(0; 0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, то ее новые координаты $M'(x'; y')$ вычисляются по формулам:
$x' = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha)$
$y' = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)$

Ответ: Поворот — это вращение фигуры вокруг некоторой точки на заданный угол.

Осевая симметрия (отражение)

Это преобразование, при котором каждой точке фигуры $F$ сопоставляется точка $F'$, симметричная ей относительно некоторой прямой, называемой осью симметрии. Прямая, соединяющая исходную точку и ее образ, перпендикулярна оси симметрии и делится ею пополам. Фигура и ее образ являются зеркальными отражениями друг друга и сохраняют размеры, поэтому это движение. Пример из жизни — отражение в зеркале или в гладкой поверхности воды.

Математически, при симметрии относительно оси абсцисс ($Ox$) точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(x; -y)$. При симметрии относительно оси ординат ($Oy$) точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; y)$.

Ответ: Осевая симметрия — это "зеркальное" отражение фигуры относительно прямой (оси).

Центральная симметрия

Это преобразование, при котором каждой точке фигуры $F$ сопоставляется точка $F'$, симметричная ей относительно некоторой точки, называемой центром симметрии. Исходная точка, ее образ и центр симметрии лежат на одной прямой, причем центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего точку и ее образ. Центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов и также является движением.

Математически, при симметрии относительно начала координат $O(0; 0)$ точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; -y)$.

Ответ: Центральная симметрия — это отражение фигуры относительно точки (центра), что эквивалентно повороту на 180° вокруг этой точки.

Гомотетия (преобразование подобия)

Это преобразование, при котором фигура равномерно растягивается или сжимается относительно некоторой точки, называемой центром гомотетии. Каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что вектор $\vec{OM'}$ равен вектору $\vec{OM}$, умноженному на некоторое число $k$, называемое коэффициентом гомотетии.
$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$
Если $|k| > 1$, происходит растяжение (увеличение).
Если $0 < |k| < 1$, происходит сжатие (уменьшение).
Если $k < 0$, преобразование сочетает растяжение/сжатие с центральной симметрией.
При гомотетии форма фигуры сохраняется, а размеры изменяются пропорционально. Примерами являются масштабирование изображений на компьютере, работа проектора или фотоаппарата.

Математически, если центр гомотетии — начало координат $O(0; 0)$, то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(kx; ky)$.

Ответ: Гомотетия — это преобразование, которое изменяет размеры фигуры (увеличивает или уменьшает), но сохраняет ее форму.

3. Опишите преобразование фигуры $F$, которое называют параллельным переносом на вектор $ \vec{a} $.

Параллельный перенос фигуры $F$ на заданный вектор $\vec{a}$ — это такое преобразование, при котором каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Это направление и расстояние определяются вектором $\vec{a}$.

Более строго, параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется преобразование, которое переводит каждую точку $M$ фигуры $F$ в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство: $\vec{MM'} = \vec{a}$. Геометрически это означает, что для нахождения точки $M'$ нужно отложить от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{a}$. В результате такого преобразования вся фигура $F$ сдвигается как единое целое, без поворотов, отражений или изменений размеров, в направлении вектора $\vec{a}$ на расстояние, равное его длине $|\vec{a}|$.

Если задать фигуру и вектор в системе координат, то преобразование можно описать формулами. Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y)$. Тогда точка $M'$, в которую переходит точка $M$, будет иметь координаты $(x'; y')$, которые вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$

Параллельный перенос обладает следующими ключевыми свойствами:
- Является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
- Сохраняет углы, а значит, и форму фигуры.
- Прямая переходит либо в саму себя (если вектор переноса ей коллинеарен), либо в параллельную ей прямую.
- Любая фигура переходит в равную ей (конгруэнтную) фигуру.

Ответ: Параллельным переносом фигуры $F$ на вектор $\vec{a}$ называют преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры $F$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{MM'} = \vec{a}$.

4. В каком случае фигуру $F_1$ называют образом фигуры $F$, а фигуру $F$ – прообразом фигуры $F_1$?

Понятия «образ» и «прообраз» в геометрии неразрывно связаны с концепцией геометрического преобразования. Геометрическое преобразование — это правило или функция, которая каждой точке плоскости (или пространства) сопоставляет другую точку.

Пусть задано некоторое геометрическое преобразование. Если мы применим это преобразование ко всем точкам, из которых состоит фигура $F$, то получим новое множество точек. Это новое множество точек и образует фигуру $F_1$.

При таком преобразовании:

• Фигура $F_1$ называется образом фигуры $F$.
• Фигура $F$ называется прообразом фигуры $F_1$.

Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Каждая точка фигуры $F$ преобразуется в одну и только одну точку.
2. Множество всех полученных точек-образов в точности составляет фигуру $F_1$. Это значит, что каждая точка фигуры $F_1$ является образом хотя бы одной точки из фигуры $F$.

Проще говоря, фигура $F_1$ является образом фигуры $F$, если $F_1$ можно получить из $F$ путём какого-либо преобразования (например, параллельного переноса, поворота, симметрии, гомотетии).

Ответ: Фигуру $F_1$ называют образом фигуры $F$, а фигуру $F$ — прообразом фигуры $F_1$ в том случае, если существует такое геометрическое преобразование, которое переводит каждую точку фигуры $F$ в некоторую точку, и совокупность всех этих точек-образов составляет фигуру $F_1$.

5. Какое преобразование фигуры называют движением?

Движением (или изометрическим преобразованием) в геометрии называют такое преобразование фигуры, при котором сохраняются расстояния между точками.

Это означает, что если взять любые две точки фигуры $A$ и $B$, и в результате движения они переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние между точками $A$ и $B$ будет равно расстоянию между точками $A'$ и $B'$. Математически это свойство записывается как: $AB = A'B'$.

Поскольку движение сохраняет расстояния, оно также сохраняет:

• длины отрезков;
• величины углов;
• форму и размер фигуры.

Таким образом, фигура и ее образ, полученный в результате движения, являются конгруэнтными (равными) фигурами.

К основным видам движений на плоскости относятся:

• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Осевая симметрия (отражение);
• Центральная симметрия.

Ответ: Движением называют преобразование фигуры, которое сохраняет расстояния между ее точками.

6. Какое преобразование фигуры называют тождественным?

Тождественным преобразованием фигуры в геометрии называют такое преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит (отображается) в саму себя. Это означает, что в результате такого преобразования фигура остается полностью неподвижной — не изменяется ни ее положение, ни форма, ни размеры, ни ориентация в пространстве.

Если обозначить преобразование буквой $f$, а любую точку фигуры буквой $M$, то для тождественного преобразования будет выполняться следующее условие: $f(M) = M$

Тождественное преобразование можно рассматривать как частный случай других геометрических преобразований:

• Параллельный перенос на нулевой вектор, то есть на вектор с координатами $(0, 0)$.
• Поворот вокруг любого центра на угол $0^\circ$ или на угол, кратный $360^\circ$ (то есть на $2\pi k$ радиан, где $k$ — целое число).
• Гомотетия (преобразование подобия) с коэффициентом, равным $1$, относительно любого центра.

Таким образом, тождественное преобразование — это преобразование, которое "ничего не делает" с фигурой.

Ответ: Тождественное преобразование – это преобразование фигуры, при котором каждая ее точка переходит в саму себя.

7. Сформулируйте свойства движения.

Движение (или изометрия) — это такое преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние между $A$ и $B$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$, то есть $|AB| = |A'B'|$.

Из этого определения следуют основные свойства движения:

1. Преобразование прямых, лучей и отрезков.
При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, а отрезок — в равный ему отрезок. Точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой, при этом сохраняется их взаимный порядок.

2. Сохранение углов.
При движении любой угол переходит в равный ему по величине угол. Это следует из того, что движение сохраняет расстояния, а значит, любой треугольник переходит в равный ему треугольник (по трём сторонам). В равных треугольниках соответствующие углы равны.

3. Сохранение параллельности.
При движении параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

4. Преобразование фигур.
Любая геометрическая фигура при движении преобразуется в равную ей фигуру. Иными словами, движение сохраняет форму и размеры фигуры, изменяя только её положение и ориентацию на плоскости.

5. Свойство композиции и обратимости.
Композиция двух движений (то есть их последовательное выполнение) также является движением. Преобразование, обратное движению, также является движением.

Ответ: Движение — это преобразование, сохраняющее расстояния. Его основные свойства: прямые переходят в прямые, отрезки — в равные им отрезки, углы сохраняют свою величину, параллельные прямые переходят в параллельные, и любая фигура переходит в равную ей фигуру.

8. Какие две фигуры называют равными?

8. Какие две фигуры называют равными?

В геометрии две фигуры называют равными (или конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом путем наложения так, что они полностью совпадут всеми своими точками.

Более строго, две фигуры $F_1$ и $F_2$ равны, если существует движение (изометрическое преобразование), которое переводит фигуру $F_1$ в фигуру $F_2$. Движение — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Основными видами движений на плоскости являются:

• Параллельный перенос;
• Поворот вокруг точки;
• Осевая симметрия (отражение).

Из определения равенства фигур следует, что равные фигуры имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Это означает, что все их соответствующие линейные и угловые элементы равны.

Например:

• Два отрезка равны, если равны их длины.
• Два угла равны, если равны их градусные (или радианные) меры.
• Две окружности равны, если равны их радиусы.
• Два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны, если у них равны соответствующие стороны и углы: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, и $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Также у равных фигур равны их периметры и площади.

Ответ: Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут.

9. Опишите, какие движения называют взаимно обратными.

Два движения называются взаимно обратными, если их последовательное выполнение (композиция) возвращает любую фигуру в её исходное положение. Иными словами, если первое движение переводит фигуру $F$ в фигуру $F'$, то второе, обратное ему движение, переводит фигуру $F'$ обратно в исходную фигуру $F$. Результатом последовательного применения двух взаимно обратных движений является тождественное преобразование, при котором каждая точка пространства остается на своем месте.

Приведем примеры для основных видов движений:
• Для параллельного переноса на вектор $\vec{a}$ обратным движением является параллельный перенос на противоположный вектор $-\vec{a}$.
• Для поворота вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ обратным движением является поворот вокруг того же центра $O$ на угол $-\alpha$ (то есть на тот же угол, но в противоположном направлении).
• Осевая симметрия и центральная симметрия являются движениями, обратными самим себе. Это означает, что их двукратное применение (относительно одной и той же оси или центра) возвращает фигуру в исходное положение.

Ответ: Взаимно обратными называют два движения, если их последовательное применение одно за другим возвращает любую фигуру в её исходное положение.

10. Сформулируйте свойство параллельного переноса.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение определяется вектором $\vec{p}$, называемым вектором параллельного переноса. Если точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$ при переносе на вектор $\vec{p}=(a, b)$, то ее новые координаты вычисляются по формулам: $x' = x+a$ и $y' = y+b$.

Основные свойства параллельного переноса:

1. Параллельный перенос является движением (изометрией).

Это главное свойство, которое означает, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$. Из этого следует, что любая фигура переходит в равную (конгруэнтную) ей фигуру. При этом сохраняются углы, площади и объемы.

2. Прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя.

При параллельном переносе образом прямой является прямая. Если вектор переноса коллинеарен (параллелен) исходной прямой, то прямая переходит сама в себя. Если вектор переноса не коллинеарен прямой, то она переходит в другую прямую, параллельную исходной.

3. Вектор смещения постоянен для всех точек.

Для любой точки $M$ и ее образа $M'$ вектор $\vec{MM'}$ равен вектору параллельного переноса $\vec{p}$. Это означает, что все отрезки, соединяющие точки с их образами, параллельны, равны по длине и одинаково направлены.

4. Отсутствие неподвижных точек.

Если вектор переноса не является нулевым ($\vec{p} \neq \vec{0}$), то при параллельном переносе ни одна точка не остается на месте.

5. Композиция параллельных переносов.

Последовательное выполнение двух параллельных переносов на векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ является параллельным переносом на вектор, равный их сумме: $\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$.

6. Существование обратного преобразования.

Для каждого параллельного переноса на вектор $\vec{p}$ существует обратный ему параллельный перенос на вектор $-\vec{p}$.

Ответ: Основными свойствами параллельного переноса являются: 1) это движение, то есть преобразование, сохраняющее расстояния между точками и, как следствие, форму и размеры фигур; 2) любая прямая переходит либо в саму себя, либо в параллельную ей прямую; 3) все точки смещаются на один и тот же вектор, равный вектору переноса.

11. Какими движениями являются параллельные переносы на векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$?

Рассмотрим два движения: параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ и параллельный перенос на вектор $-\vec{a}$. Чтобы определить, какими движениями они являются по отношению друг к другу, проанализируем их композицию, то есть результат их последовательного применения.

Пусть $T_{\vec{a}}$ — это параллельный перенос на вектор $\vec{a}$, а $T_{-\vec{a}}$ — параллельный перенос на вектор $-\vec{a}$. Вектор $-\vec{a}$ является противоположным вектору $\vec{a}$, то есть он имеет ту же длину (модуль), но направлен в противоположную сторону.

Возьмем произвольную точку $M$ и применим к ней сначала перенос $T_{\vec{a}}$, а затем $T_{-\vec{a}}$.

1. Применение переноса $T_{\vec{a}}$ переводит точку $M$ в точку $M'$, так что вектор смещения $\vec{MM'} = \vec{a}$.
2. Применение переноса $T_{-\vec{a}}$ к полученной точке $M'$ переводит её в точку $M''$, так что вектор смещения $\vec{M'M''} = -\vec{a}$.

Чтобы найти итоговое смещение точки $M$, необходимо сложить векторы последовательных смещений: $\vec{MM''} = \vec{MM'} + \vec{M'M''} = \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Так как итоговый вектор смещения равен нулевому вектору ($\vec{0}$), конечная точка $M''$ совпадает с начальной точкой $M$. Это означает, что композиция преобразований $T_{-\vec{a}} \circ T_{\vec{a}}$ является тождественным преобразованием (каждая точка остается на своем месте).

Аналогично, если сначала применить перенос $T_{-\vec{a}}$, а затем $T_{\vec{a}}$, итоговое смещение также будет равно $\vec{0}$: $\vec{MM_{итог}} = -\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$.

Два движения (преобразования), композиция которых в любом порядке является тождественным преобразованием, называются взаимно обратными.

Ответ: Параллельные переносы на векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ являются взаимно обратными движениями.

621. На рисунке 154 изображены угол $AOB$ и прямая $p$, не параллельная его сторонам. Каждой точке $X$ стороны $OA$ поставлена в соответствие такая точка $X_1$ стороны $OB$, что $XX_1 \parallel p$ (точке $O$ поставлена в соответствие точка $O$). Постройте образ точки $M$ и прообраз точки $K$ при данном преобразовании. Какая фигура является образом луча $OA$?

Рис. 154

Постройте образ точки M

Согласно условию, образом точки $X$ на стороне $OA$ является точка $X_1$ на стороне $OB$ такая, что прямая $XX_1$ параллельна прямой $p$. Чтобы найти образ точки $M$, которую мы назовем $M_1$, нужно выполнить следующие действия:
1. Через точку $M$, лежащую на луче $OA$, провести прямую, параллельную данной прямой $p$.
2. Найти точку пересечения этой построенной прямой с лучом $OB$. Эта точка и будет искомым образом $M_1$.

Ответ: Образ точки $M$ - это точка $M_1$ на луче $OB$, такая, что отрезок $MM_1$ параллелен прямой $p$.

Постройте прообраз точки K

Прообраз точки $K$ — это такая точка на луче $OA$, образом которой является точка $K$. Назовем эту точку $K_0$. Для ее построения нужно выполнить обратное действие:
1. Через точку $K$, лежащую на луче $OB$, провести прямую, параллельную данной прямой $p$.
2. Найти точку пересечения этой построенной прямой с лучом $OA$. Эта точка и будет искомым прообразом $K_0$.

Ответ: Прообраз точки $K$ - это точка $K_0$ на луче $OA$, такая, что отрезок $K_0K$ параллелен прямой $p$.

Какая фигура является образом луча OA?

Рассмотрим данное преобразование. Каждой точке $X$ на луче $OA$ ставится в соответствие единственная точка $X_1$ на луче $OB$. Точка $O$ переходит сама в себя. Поскольку прямая $p$ не параллельна ни $OA$, ни $OB$, то для любой точки на луче $OA$ (кроме $O$) ее образ на луче $OB$ будет существовать и будет единственным (не совпадет с $O$).
Аналогично, для любой точки на луче $OB$ можно построить ее единственный прообраз на луче $OA$. Это означает, что данное преобразование устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками луча $OA$ и точками луча $OB$. Следовательно, весь луч $OA$ отображается на весь луч $OB$.

Ответ: Образом луча $OA$ является луч $OB$.

622. На рисунке 155 изображены отрезок $AB$ и прямая $a$. Каждой точке $X$ отрезка $AB$ поставлено в соответствие основание перпендикуляра, опущенного из точки $X$ на прямую $a$. Постройте образ точки $E$ и прообраз точки $F$ при данном преобразовании. Существуют ли точки прямой $a$, не имеющие прообраза? Постройте образ отрезка $AB$.

Рис. 154

Рис. 155

В данной задаче рассматривается преобразование, которое является ортогональным (прямоугольным) проектированием точек отрезка $AB$ на прямую $a$. Образом каждой точки $X$, принадлежащей отрезку $AB$, является основание перпендикуляра, опущенного из точки $X$ на прямую $a$.