Номер 621, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

621. На рисунке 154 изображены угол $AOB$ и прямая $p$, не параллельная его сторонам. Каждой точке $X$ стороны $OA$ поставлена в соответствие такая точка $X_1$ стороны $OB$, что $XX_1 \parallel p$ (точке $O$ поставлена в соответствие точка $O$). Постройте образ точки $M$ и прообраз точки $K$ при данном преобразовании. Какая фигура является образом луча $OA$?

Рис. 154

Постройте образ точки M

Согласно условию, образом точки $X$ на стороне $OA$ является точка $X_1$ на стороне $OB$ такая, что прямая $XX_1$ параллельна прямой $p$. Чтобы найти образ точки $M$, которую мы назовем $M_1$, нужно выполнить следующие действия:
1. Через точку $M$, лежащую на луче $OA$, провести прямую, параллельную данной прямой $p$.
2. Найти точку пересечения этой построенной прямой с лучом $OB$. Эта точка и будет искомым образом $M_1$.

Ответ: Образ точки $M$ - это точка $M_1$ на луче $OB$, такая, что отрезок $MM_1$ параллелен прямой $p$.

Постройте прообраз точки K

Прообраз точки $K$ — это такая точка на луче $OA$, образом которой является точка $K$. Назовем эту точку $K_0$. Для ее построения нужно выполнить обратное действие:
1. Через точку $K$, лежащую на луче $OB$, провести прямую, параллельную данной прямой $p$.
2. Найти точку пересечения этой построенной прямой с лучом $OA$. Эта точка и будет искомым прообразом $K_0$.

Ответ: Прообраз точки $K$ - это точка $K_0$ на луче $OA$, такая, что отрезок $K_0K$ параллелен прямой $p$.

Какая фигура является образом луча OA?

Рассмотрим данное преобразование. Каждой точке $X$ на луче $OA$ ставится в соответствие единственная точка $X_1$ на луче $OB$. Точка $O$ переходит сама в себя. Поскольку прямая $p$ не параллельна ни $OA$, ни $OB$, то для любой точки на луче $OA$ (кроме $O$) ее образ на луче $OB$ будет существовать и будет единственным (не совпадет с $O$).
Аналогично, для любой точки на луче $OB$ можно построить ее единственный прообраз на луче $OA$. Это означает, что данное преобразование устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками луча $OA$ и точками луча $OB$. Следовательно, весь луч $OA$ отображается на весь луч $OB$.

Ответ: Образом луча $OA$ является луч $OB$.