Номер 623, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

623. Постройте образы отрезка $AB$ и луча $OM$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 156).

Рис. 156

Параллельный перенос на заданный вектор $\vec{a}$ — это преобразование, при котором каждая точка фигуры $(P)$ смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. В результате каждая точка $P$ переходит в точку $P'$ так, что вектор $\vec{PP'}$ равен заданному вектору переноса $\vec{a}$.

Для решения задачи сначала определим координаты вектора переноса $\vec{a}$ по клеткам на рисунке. Вектор $\vec{a}$ показывает смещение на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Таким образом, если принять сторону клетки за единицу, то вектор переноса имеет координаты $\vec{a} = (2, -1)$.

Образом отрезка при параллельном переносе является отрезок. Чтобы построить образ отрезка $AB$, достаточно построить образы его концов — точек $A$ и $B$.

1. Для построения точки $A'$, образа точки $A$, необходимо сместить точку $A$ на вектор $\vec{a}$. Откладываем от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{a}$, то есть смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получаем точку $A'$. Математически это записывается как $\vec{AA'} = \vec{a}$.
2. Аналогично строим точку $B'$, образ точки $B$. Смещаем точку $B$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получаем точку $B'$. Математически это записывается как $\vec{BB'} = \vec{a}$.
3. Соединяем полученные точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ и является искомым образом отрезка $AB$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$. По свойству параллельного переноса, отрезок $A'B'$ параллелен и равен отрезку $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, где точки $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$ при переносе на вектор $\vec{a}$.

Образом луча при параллельном переносе является луч. Чтобы построить образ луча $OM$, достаточно построить образ его начальной точки $O$ и учесть, что полученный луч будет сонаправлен исходному.

1. Для построения точки $O'$, образа начальной точки луча $O$, необходимо сместить точку $O$ на вектор $\vec{a}$. Откладываем от точки $O$ вектор, равный вектору $\vec{a}$, то есть смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получаем точку $O'$. Математически это записывается как $\vec{OO'} = \vec{a}$.
2. Из точки $O'$ проводим луч $O'M'$ в том же направлении, что и луч $OM$. Так как параллельный перенос сохраняет направления, луч $O'M'$ будет параллелен лучу $OM$.

Ответ: Образом луча $OM$ является луч $O'M'$, начинающийся в точке $O'$ (образе точки $O$) и сонаправленный с лучом $OM$.

Ниже представлен результат построения: