Номер 629, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

629. Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором отрезок $CD$ является образом отрезка $AB$ (рис. 160).

Рис. 160

Поскольку отрезки AB и CD имеют разную длину и непараллельны, искомое преобразование является преобразованием подобия, которое можно представить как композицию (последовательное выполнение) более простых преобразований. Опишем один из возможных способов такого преобразования:

Шаг 1: Поворот. Сначала выполним поворот отрезка AB вокруг точки A на такой угол, чтобы он стал параллелен отрезку CD. Пусть в результате этого поворота точка B перейдет в точку B'. Получим отрезок AB', который параллелен отрезку CD ($AB' \parallel CD$). Поскольку поворот является движением, длина отрезка сохраняется, то есть $|AB'| = |AB|$.

Шаг 2: Гомотетия. Далее применим к отрезку AB' гомотетию с центром в точке A. Коэффициент гомотетии $k$ должен быть равен отношению длин итогового и исходного отрезков: $k = \frac{|CD|}{|AB'|} = \frac{|CD|}{|AB|}$. В результате гомотетии точка A останется на месте, а точка B' перейдет в точку B''. Полученный отрезок AB'' будет по-прежнему параллелен отрезку CD, а его длина станет равна $|AB''| = k \cdot |AB'| = \frac{|CD|}{|AB|} \cdot |AB| = |CD|$. Таким образом, отрезок AB'' параллелен и равен по длине отрезку CD.

Шаг 3: Параллельный перенос. Наконец, выполним параллельный перенос отрезка AB'' на вектор $\vec{AC}$. При этом переносе точка A перейдет в точку C. Так как отрезки AB'' и CD параллельны, равны по длине и, будем считать, сонаправлены (этого можно добиться выбором направления поворота), то точка B'' перейдет в точку D. Следовательно, отрезок AB'' отобразится на отрезок CD.

Таким образом, последовательное выполнение указанных преобразований (поворот, гомотетия и параллельный перенос) переводит отрезок AB в отрезок CD.

Ответ: Преобразование, при котором отрезок CD является образом отрезка AB, можно задать как композицию трех преобразований: 1) поворот отрезка AB вокруг точки A до положения, в котором он станет параллелен отрезку CD; 2) гомотетия с центром в точке A и коэффициентом $k = \frac{|CD|}{|AB|}$; 3) параллельный перенос на вектор $\vec{AC}$.