Номер 631, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

631. Дан угол $AOB$ (рис. 161). Каждой точ-ке $X$ стороны $OA$ поставим в соответ-ствие точку $X_1$, которая принадлежит стороне $OB$ и лежит на окружности с центром $O$ радиуса $OX$ (точке $O$ по-ставим в соответствие точку $O$). Ка-кая фигура является образом сторо-ны $OA$? Докажите, что описанное преобразование является движением.

Какая фигура является образом стороны OA?
По условию задачи, каждой точке $X$, принадлежащей стороне (лучу) $OA$, сопоставляется точка $X_1$ на стороне (луче) $OB$. Это сопоставление происходит по правилу: точка $X_1$ находится на том же расстоянии от вершины угла $O$, что и точка $X$. То есть, для любой точки $X$ на луче $OA$ и ее образа $X_1$ на луче $OB$ выполняется равенство $OX = OX_1$.
Когда точка $X$ перемещается по всему лучу $OA$, ее расстояние от точки $O$ принимает все неотрицательные значения (от $0$ до бесконечности). Поскольку $OX_1 = OX$, расстояние точки $X_1$ от точки $O$ также будет принимать все неотрицательные значения. Так как точка $X_1$ по определению лежит на луче $OB$, она пройдет все точки этого луча.
Таким образом, каждой точке луча $OA$ соответствует единственная точка на луче $OB$, и наоборот, каждая точка луча $OB$ является образом некоторой единственной точки луча $OA$. Следовательно, образом стороны $OA$ является сторона $OB$.

Ответ: Образом стороны $OA$ является сторона $OB$.

Докажите, что описанное преобразование является движением.
Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Чтобы доказать, что описанное преобразование является движением, нам нужно взять две произвольные точки $X$ и $Y$ на луче $OA$ и показать, что расстояние между ними, $XY$, равно расстоянию между их образами $X_1$ и $Y_1$ на луче $OB$.
Пусть $X$ и $Y$ — две произвольные точки на луче $OA$. Пусть их образы на луче $OB$ — это точки $X_1$ и $Y_1$ соответственно.
По определению преобразования, мы имеем следующие равенства:
1) $OX = OX_1$
2) $OY = OY_1$
Для определённости, предположим, что точка $X$ расположена между точкой $O$ и точкой $Y$ (или совпадает с одной из них). Так как все три точки $O$, $X$, $Y$ лежат на одном луче $OA$, расстояние между $X$ и $Y$ равно разности их расстояний от начала луча:
$XY = OY - OX$
Из условия $OY \ge OX$ и равенств (1) и (2) следует, что $OY_1 \ge OX_1$. Так как точки $O$, $X_1$ и $Y_1$ лежат на одном луче $OB$, это означает, что точка $X_1$ расположена между $O$ и $Y_1$. Поэтому расстояние между $X_1$ и $Y_1$ можно вычислить аналогично:
$X_1Y_1 = OY_1 - OX_1$
Теперь, используя равенства (1) и (2), подставим $OY$ вместо $OY_1$ и $OX$ вместо $OX_1$ в формулу для $X_1Y_1$:
$X_1Y_1 = OY - OX$
Сравнивая выражения для $XY$ и $X_1Y_1$, получаем:
$XY = X_1Y_1$
Мы показали, что расстояние между любыми двумя точками $X$ и $Y$ на луче $OA$ равно расстоянию между их образами $X_1$ и $Y_1$. Следовательно, данное преобразование сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ: Описанное преобразование является движением, так как оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками.