Номер 634, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

634. Точки $A_1$ и $B_1$ не принадлежат прямой $AB$ и являются образами соответственно точек $A$ и $B$ при параллельном переносе. Докажите, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ – параллелограмм.

По условию задачи, точки $A_1$ и $B_1$ являются образами точек $A$ и $B$ соответственно при параллельном переносе.

Параллельный перенос определяется вектором. Пусть $\vec{v}$ — вектор этого параллельного переноса.

По определению параллельного переноса, вектор, проведенный из точки-прообраза в ее образ, равен вектору переноса. Следовательно, мы имеем следующие векторные равенства:

$\vec{AA_1} = \vec{v}$

$\vec{BB_1} = \vec{v}$

Из этих равенств следует, что $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.

Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Отсюда мы получаем два вывода:

1. Длины векторов равны: $|\vec{AA_1}| = |\vec{BB_1}|$. Это означает, что длины отрезков $AA_1$ и $BB_1$ равны: $AA_1 = BB_1$.

2. Векторы сонаправлены, а значит, прямые, на которых лежат эти отрезки, параллельны: $AA_1 \parallel BB_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. Вершины этого четырехугольника идут в порядке A, A₁, B₁, B. Его противоположными сторонами являются $AA_1$ и $B_1B$.

Мы уже показали, что $AA_1 = BB_1$ и $AA_1 \parallel BB_1$. Отрезок $B_1B$ — это тот же отрезок, что и $BB_1$, поэтому их длины равны ($B_1B = BB_1$), и они лежат на одной и той же прямой.

Таким образом, для противоположных сторон $AA_1$ и $B_1B$ четырехугольника $AA_1B_1B$ выполняются условия:

1. $AA_1 = B_1B$ (так как $AA_1 = BB_1$ и $BB_1 = B_1B$).

2. $AA_1 \parallel B_1B$ (так как прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ совпадает с прямой $B_1B$).

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. Условие, что точки $A_1$ и $B_1$ не принадлежат прямой $AB$, гарантирует, что четырехугольник не вырожден (т.е. все его вершины не лежат на одной прямой).

Следовательно, четырехугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.