Номер 637, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

637. Дан параллелограмм $ABCD$. Какой вектор задаёт параллельный перенос, при котором сторона $AD$ является образом стороны $BC$?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все её точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такой перенос задаётся вектором.

По условию, в результате параллельного переноса сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ переходит в сторону $AD$. Это означает, что образ точки $B$ лежит на прямой $AD$, и образ точки $C$ также лежит на прямой $AD$. При этом сам отрезок $BC$ переходит в отрезок $AD$.

Поскольку при параллельном переносе сохраняется направление и порядок точек, то конечная точка отрезка $BC$, точка $B$, переходит в конечную точку отрезка $AD$, точку $A$. Аналогично, точка $C$ переходит в точку $D$.

Вектор параллельного переноса определяется как вектор, начало которого находится в исходной точке (прообразе), а конец — в точке, в которую она переходит (образе). Таким образом, если точка $B$ переходит в точку $A$, то вектор переноса равен $\vec{BA}$.

Проверим это для второй пары точек: точка $C$ переходит в точку $D$, что задает вектор переноса $\vec{CD}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Если рассматривать их как векторы, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB}$ и $\vec{CD} = -\vec{DC}$. Отсюда получаем, что $\vec{BA} = -(-\vec{CD}) = \vec{CD}$.

Таким образом, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны и задают один и тот же параллельный перенос, при котором сторона $BC$ переходит в сторону $AD$.

Ответ: $\vec{BA}$ (или равный ему вектор $\vec{CD}$).