Номер 632, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

632. Дан угол $MON$. Каждой точке $X$ стороны $OM$ поставлена в соответствие такая точка $X_1$ стороны $ON$, что прямая $XX_1$ перпендикулярна биссектрисе угла $MON$ (точке $O$ соответствует точка $O$). Докажите, что описанное преобразование является движением.

Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Чтобы доказать, что описанное преобразование является движением, необходимо показать, что для любых двух точек $A$ и $B$ на стороне $OM$ расстояние между ними равно расстоянию между их образами $A_1$ и $B_1$ на стороне $ON$. То есть, требуется доказать, что $AB = A_1B_1$.

Пусть $l$ – биссектриса угла $MON$. Рассмотрим произвольную точку $X$ на стороне $OM$ и соответствующую ей точку $X_1$ на стороне $ON$. По условию, прямая $XX_1$ перпендикулярна биссектрисе $l$. Пусть $P$ – точка их пересечения.

Рассмотрим треугольник $ΔXOX_1$. В этом треугольнике отрезок $OP$ (часть биссектрисы $l$) является одновременно:

1. Биссектрисой угла $∠XOX_1$, так как $l$ – биссектриса угла $MON$.
2. Высотой, опущенной на сторону $XX_1$, так как по условию $XX_1 \perp l$.

Треугольник, в котором биссектриса, проведенная из вершины, совпадает с высотой, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ΔXOX_1$ – равнобедренный с основанием $XX_1$, и его боковые стороны равны: $OX = OX_1$.

Этот результат означает, что данное преобразование сохраняет расстояние от вершины угла $O$ до любой точки на его стороне.

Теперь возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на стороне $OM$. Пусть их образы – это точки $A_1$ и $B_1$ на стороне $ON$. Без ограничения общности, предположим, что точка $A$ лежит между точками $O$ и $B$. Тогда расстояние между ними равно $AB = OB - OA$.

Из доказанного выше свойства преобразования следует, что $OA = OA_1$ и $OB = OB_1$.

Поскольку $A$ лежит между $O$ и $B$, то $OA < OB$. Из этого следует, что $OA_1 < OB_1$, а значит, точка $A_1$ на луче $ON$ также лежит между $O$ и $B_1$. Расстояние между образами $A_1$ и $B_1$ равно $A_1B_1 = OB_1 - OA_1$.

Подставляя полученные ранее равенства, получаем:

$A_1B_1 = OB_1 - OA_1 = OB - OA$.

Так как $AB = OB - OA$, мы приходим к выводу, что $A_1B_1 = AB$.

Поскольку расстояние между произвольными точками $A$ и $B$ равно расстоянию между их образами $A_1$ и $B_1$, данное преобразование сохраняет расстояние и, следовательно, является движением. Фактически, описанное преобразование является осевой симметрией относительно биссектрисы угла $MON$, а любая осевая симметрия является движением.

Ответ: Утверждение доказано. Описанное преобразование является движением.