Номер 627, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

627. Постройте образ окружности $x^2 + y^2 = 4$ при параллельном переносе на вектор:

1) $\vec{a} (2; 0)$;

2) $\vec{b} (0; -1)$;

3) $\vec{c} (2; -1)$.

Запишите уравнение образа окружности $x^2 + y^2 = 4$.

Исходное уравнение окружности $x^2 + y^2 = 4$ представляет собой окружность с центром в начале координат, точке $O(0; 0)$, и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

При параллельном переносе окружности её радиус не изменяется, а центр смещается на заданный вектор. Если исходный центр окружности находится в точке $(h; k)$, а перенос осуществляется на вектор $\vec{v}(v_x; v_y)$, то новый центр $(h'; k')$ будет иметь координаты $h' = h + v_x$ и $k' = k + v_y$. Уравнение новой окружности будет $(x - h')^2 + (y - k')^2 = R^2$.

В нашем случае исходный центр — $O(0; 0)$.

1) $\vec{a}(2; 0)$

При переносе на вектор $\vec{a}(2; 0)$ координаты нового центра $O_1(h'; k')$ будут:

$h' = 0 + 2 = 2$

$k' = 0 + 0 = 0$

Новый центр находится в точке $O_1(2; 0)$. Радиус окружности остаётся равным 2. Уравнение образа окружности:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Для построения образа необходимо начертить окружность с центром в точке $(2; 0)$ и радиусом 2.

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 = 4$.

2) $\vec{b}(0; -1)$

При переносе на вектор $\vec{b}(0; -1)$ координаты нового центра $O_2(h'; k')$ будут:

$h' = 0 + 0 = 0$

$k' = 0 + (-1) = -1$

Новый центр находится в точке $O_2(0; -1)$. Радиус окружности остаётся равным 2. Уравнение образа окружности:

$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$

$x^2 + (y + 1)^2 = 4$

Для построения образа необходимо начертить окружность с центром в точке $(0; -1)$ и радиусом 2.

Ответ: $x^2 + (y + 1)^2 = 4$.

3) $\vec{c}(2; -1)$

При переносе на вектор $\vec{c}(2; -1)$ координаты нового центра $O_3(h'; k')$ будут:

$h' = 0 + 2 = 2$

$k' = 0 + (-1) = -1$

Новый центр находится в точке $O_3(2; -1)$. Радиус окружности остаётся равным 2. Уравнение образа окружности:

$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Для построения образа необходимо начертить окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом 2.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$.