Страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

623. Постройте образы отрезка $AB$ и луча $OM$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 156).

Рис. 156

Параллельный перенос на заданный вектор $\vec{a}$ — это преобразование, при котором каждая точка фигуры $(P)$ смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. В результате каждая точка $P$ переходит в точку $P'$ так, что вектор $\vec{PP'}$ равен заданному вектору переноса $\vec{a}$.

Для решения задачи сначала определим координаты вектора переноса $\vec{a}$ по клеткам на рисунке. Вектор $\vec{a}$ показывает смещение на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Таким образом, если принять сторону клетки за единицу, то вектор переноса имеет координаты $\vec{a} = (2, -1)$.

Образом отрезка при параллельном переносе является отрезок. Чтобы построить образ отрезка $AB$, достаточно построить образы его концов — точек $A$ и $B$.

1. Для построения точки $A'$, образа точки $A$, необходимо сместить точку $A$ на вектор $\vec{a}$. Откладываем от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{a}$, то есть смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получаем точку $A'$. Математически это записывается как $\vec{AA'} = \vec{a}$.
2. Аналогично строим точку $B'$, образ точки $B$. Смещаем точку $B$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получаем точку $B'$. Математически это записывается как $\vec{BB'} = \vec{a}$.
3. Соединяем полученные точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ и является искомым образом отрезка $AB$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$. По свойству параллельного переноса, отрезок $A'B'$ параллелен и равен отрезку $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, где точки $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$ при переносе на вектор $\vec{a}$.

Образом луча при параллельном переносе является луч. Чтобы построить образ луча $OM$, достаточно построить образ его начальной точки $O$ и учесть, что полученный луч будет сонаправлен исходному.

1. Для построения точки $O'$, образа начальной точки луча $O$, необходимо сместить точку $O$ на вектор $\vec{a}$. Откладываем от точки $O$ вектор, равный вектору $\vec{a}$, то есть смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получаем точку $O'$. Математически это записывается как $\vec{OO'} = \vec{a}$.
2. Из точки $O'$ проводим луч $O'M'$ в том же направлении, что и луч $OM$. Так как параллельный перенос сохраняет направления, луч $O'M'$ будет параллелен лучу $OM$.

Ответ: Образом луча $OM$ является луч $O'M'$, начинающийся в точке $O'$ (образе точки $O$) и сонаправленный с лучом $OM$.

Ниже представлен результат построения:

624. На рисунке 157 прямая a является образом некоторой прямой при параллельном переносе на вектор $\vec{m}$. Постройте прообраз прямой a.

По условию, прямая $a$ является образом некоторой прямой (прообраза) при параллельном переносе на вектор $\vec{m}$. Чтобы найти прообраз, необходимо выполнить обратное преобразование, то есть параллельный перенос прямой $a$ на вектор $-\vec{m}$. Вектор $-\vec{m}$ имеет ту же длину, что и $\vec{m}$, но противоположное направление.

1. Определение вектора переноса $-\vec{m}$.

Из рисунка на клетчатой бумаге определим координаты вектора $\vec{m}$. Если совместить его начало с узлом сетки, то его конец будет смещен на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Таким образом, вектор переноса $\vec{m}$ имеет координаты $(2, -2)$. Следовательно, обратный вектор $-\vec{m}$ будет иметь противоположные координаты: $(-2, 2)$. Этот вектор соответствует смещению на 2 клетки влево и 2 клетки вверх.

2. Построение прообраза.

При параллельном переносе любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Это означает, что искомый прообраз будет параллелен прямой $a$. Для его построения достаточно найти прообраз одной любой точки, принадлежащей прямой $a$, и провести через полученную точку новую прямую, параллельную $a$.

Выберем на прямой $a$ любую удобную точку, лежащую в узле сетки. Например, точку $A$, которая находится на 4 клетки правее и на 4 клетки выше левого нижнего угла видимой части сетки.

Чтобы найти прообраз этой точки (назовем его $A'$), нужно сместить точку $A$ на вектор $-\vec{m}$, то есть на 2 клетки влево и 2 клетки вверх. Новая точка $A'$ будет расположена на 2 клетки правее и на 6 клеток выше левого нижнего угла.

Теперь через точку $A'$ проводим прямую, параллельную прямой $a$. Это и есть искомый прообраз.

Ответ: Прообраз прямой $a$ — это прямая, параллельная прямой $a$, полученная ее сдвигом на 2 клетки влево и 2 клетки вверх.

625. Окружность с центром $O_1$ является образом окружности с центром $O$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 158). Отложите вектор $\vec{a}$ от точки $M$.

Рис. 156

Рис. 157

Рис. 158

По условию задачи, окружность с центром в точке $O_1$ является образом окружности с центром в точке $O$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$.

При параллельном переносе фигуры на вектор $\vec{a}$ каждая точка фигуры смещается на этот вектор. Следовательно, центр исходной окружности, точка $O$, смещается в центр полученной окружности, точку $O_1$. Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{a}$ — это вектор, идущий из точки $O$ в точку $O_1$.

Математически это можно записать как: $\vec{a} = \vec{OO_1}$.

Задача состоит в том, чтобы отложить (построить) вектор $\vec{a}$ от точки $M$. Это означает, что нужно построить вектор, равный вектору $\vec{a}$, началом которого является точка $M$. Обозначим конец этого нового вектора как $M_1$. Тогда нам нужно построить вектор $\vec{MM_1}$ такой, что $\vec{MM_1} = \vec{a} = \vec{OO_1}$.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены). Для построения вектора $\vec{MM_1}$ нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти вектор переноса $\vec{a}$, соединив точки $O$ и $O_1$ направленным отрезком (стрелкой от $O$ к $O_1$).
2. Из точки $M$ провести луч, параллельный вектору $\vec{OO_1}$ и направленный в ту же сторону.
3. На этом луче от точки $M$ отложить отрезок $MM_1$, длина которого равна длине отрезка $OO_1$.
4. Полученный направленный отрезок $\vec{MM_1}$ и будет искомым вектором $\vec{a}$, отложенным от точки $M$.

Альтернативно, можно построить точку $M_1$ так, чтобы четырехугольник $OMM_1O_1$ являлся параллелограммом. В этом случае по свойству параллелограмма будет выполняться векторное равенство $\vec{MM_1} = \vec{OO_1}$.

Ответ: Вектор параллельного переноса $\vec{a}$ равен вектору $\vec{OO_1}$. Чтобы отложить вектор $\vec{a}$ от точки $M$, необходимо построить вектор $\vec{MM_1}$ так, чтобы он был равен вектору $\vec{OO_1}$. Для этого нужно найти точку $M_1$, для которой четырехугольник $OMM_1O_1$ является параллелограммом. Вектор $\vec{MM_1}$ и будет искомым.

626. Постройте образ параболы $y = x^2$ при параллельном переносе на вектор:

1) $\vec{a}$ (0; 2);

2) $\vec{b}$ (-1; 0);

3) $\vec{c}$ (-1; 2).

Запишите уравнение образа параболы $y = x^2$.

При параллельном переносе графика функции $y = f(x)$ на вектор с координатами $(m; n)$, уравнение образа функции получается заменой $x$ на $(x - m)$ и $y$ на $(y - n)$ в исходном уравнении: $y - n = f(x - m)$, что эквивалентно $y = f(x - m) + n$. Исходное уравнение параболы: $y = x^2$.

1) $\vec{a}(0; 2)$

Для нахождения уравнения образа параболы $y = x^2$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(0; 2)$, мы используем значения $m=0$ и $n=2$. Подставляем эти значения в общую формулу $y = f(x - m) + n$: $y = (x - 0)^2 + 2$ $y = x^2 + 2$

Чтобы построить образ, нужно сдвинуть график исходной параболы $y=x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Вершина параболы переместится из точки $(0; 0)$ в точку $(0; 2)$.

Ответ: $y = x^2 + 2$.

2) $\vec{b}(-1; 0)$

При параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-1; 0)$, имеем $m=-1$ и $n=0$. Подставляем эти значения в формулу: $y = (x - (-1))^2 + 0$ $y = (x + 1)^2$

Чтобы построить образ, нужно сдвинуть график исходной параболы $y=x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox). Вершина параболы переместится из точки $(0; 0)$ в точку $(-1; 0)$.

Ответ: $y = (x + 1)^2$.

3) $\vec{c}(-1; 2)$

Для параллельного переноса на вектор $\vec{c}(-1; 2)$, имеем $m=-1$ и $n=2$. Подставляем эти значения в формулу: $y = (x - (-1))^2 + 2$ $y = (x + 1)^2 + 2$

Чтобы построить образ, нужно сдвинуть график исходной параболы $y=x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox) и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Вершина параболы переместится из точки $(0; 0)$ в точку $(-1; 2)$.

Ответ: $y = (x + 1)^2 + 2$.

627. Постройте образ окружности $x^2 + y^2 = 4$ при параллельном переносе на вектор:

1) $\vec{a} (2; 0)$;

2) $\vec{b} (0; -1)$;

3) $\vec{c} (2; -1)$.

Запишите уравнение образа окружности $x^2 + y^2 = 4$.

Исходное уравнение окружности $x^2 + y^2 = 4$ представляет собой окружность с центром в начале координат, точке $O(0; 0)$, и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

При параллельном переносе окружности её радиус не изменяется, а центр смещается на заданный вектор. Если исходный центр окружности находится в точке $(h; k)$, а перенос осуществляется на вектор $\vec{v}(v_x; v_y)$, то новый центр $(h'; k')$ будет иметь координаты $h' = h + v_x$ и $k' = k + v_y$. Уравнение новой окружности будет $(x - h')^2 + (y - k')^2 = R^2$.

В нашем случае исходный центр — $O(0; 0)$.

1) $\vec{a}(2; 0)$

При переносе на вектор $\vec{a}(2; 0)$ координаты нового центра $O_1(h'; k')$ будут:

$h' = 0 + 2 = 2$

$k' = 0 + 0 = 0$

Новый центр находится в точке $O_1(2; 0)$. Радиус окружности остаётся равным 2. Уравнение образа окружности:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Для построения образа необходимо начертить окружность с центром в точке $(2; 0)$ и радиусом 2.

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 = 4$.

2) $\vec{b}(0; -1)$

При переносе на вектор $\vec{b}(0; -1)$ координаты нового центра $O_2(h'; k')$ будут:

$h' = 0 + 0 = 0$

$k' = 0 + (-1) = -1$

Новый центр находится в точке $O_2(0; -1)$. Радиус окружности остаётся равным 2. Уравнение образа окружности:

$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$

$x^2 + (y + 1)^2 = 4$

Для построения образа необходимо начертить окружность с центром в точке $(0; -1)$ и радиусом 2.

Ответ: $x^2 + (y + 1)^2 = 4$.

3) $\vec{c}(2; -1)$

При переносе на вектор $\vec{c}(2; -1)$ координаты нового центра $O_3(h'; k')$ будут:

$h' = 0 + 2 = 2$

$k' = 0 + (-1) = -1$

Новый центр находится в точке $O_3(2; -1)$. Радиус окружности остаётся равным 2. Уравнение образа окружности:

$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Для построения образа необходимо начертить окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом 2.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$.

628. Прямая $a$ касается полуокружности $AB$ с центром в точке $O$ (рис. 159). Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором прямая $a$ является образом полуокружности $AB$ с «выколотыми» точками $A$ и $B$.

Рис. 159

Рис. 160

Для того чтобы образом конечной дуги окружности стала вся бесконечная прямая, необходимо использовать преобразование, которое отображает по крайней мере одну точку дуги в бесконечность. Таким свойством обладает центральная проекция (или перспективная проекция), если ее центр выбрать на самой дуге.

Рассмотрим предложенную конфигурацию: дана полуокружность $AB$ с центром в точке $O$ и касательная к ней прямая $a$. Пусть точка касания — $T$.

В качестве искомого преобразования выберем центральную проекцию на прямую $a$.

1. Прямая проекции: прямая $a$.

2. Центр проекции: выберем центр проекции $C$ на дуге $AB$ (между точками $A$ и $B$). Чтобы проекция покрыла всю прямую $a$, необходимо, чтобы касательная к дуге в точке $C$ была параллельна прямой $a$.В данной конфигурации прямая $a$ касается окружности в точке $T$. Касательная к окружности параллельна прямой $a$ в точке $C$, диаметрально противоположной точке $T$. Таким образом, в качестве центра проекции $C$ следует выбрать точку на дуге $AB$, которая диаметрально противоположна точке касания $T$. Из симметрии, показанной на рисунке 159, видно, что эта точка $C$ является серединой дуги $AB$.

3. Процесс преобразования: Каждая точка $X$ на дуге $AB$ (кроме точек $A$, $B$ и $C$) отображается в точку $X'$ на прямой $a$, которая является точкой пересечения прямой $CX$ и прямой $a$.

Обоснование, почему образом является вся прямая $a$:

Разобьем открытую дугу $AB$ на две части: дугу $AC$ и дугу $CB$ (точка $C$ исключена из рассмотрения, так как проекция из собственного центра не определена в конечной плоскости).

• Рассмотрим образ дуги $AC$ (без концов). Когда точка $X$ движется по дуге от $A$ к $C$, ее образ $X'$ движется по прямой $a$. Образом точки $A$ является точка $A' = CA \cap a$. Когда точка $X$ приближается к $C$, прямая $CX$ (секущая) стремится занять положение касательной к окружности в точке $C$. Поскольку мы выбрали точку $C$ так, что касательная в ней параллельна прямой $a$, точка $X'$ будет уходить в бесконечность. Таким образом, образом открытой дуги $AC$ является открытый луч на прямой $a$, начинающийся в точке $A'$ и уходящий в бесконечность в одном направлении.
• Аналогично рассмотрим образ дуги $CB$ (без концов). Образом точки $B$ является точка $B' = CB \cap a$. Когда точка $X$ приближается к $C$ со стороны $B$, ее образ $X'$ также уходит в бесконечность, но уже в противоположном направлении по прямой $a$. Таким образом, образом открытой дуги $CB$ является открытый луч, начинающийся в точке $B'$ и уходящий в бесконечность в другом направлении.

Объединение этих двух лучей дает всю прямую $a$. Точки $A$ и $B$ по условию "выколоты", то есть не принадлежат множеству, которое мы преобразуем. Центр проекции $C$ также не имеет образа на конечной прямой $a$. Следовательно, образом множества точек полуокружности $AB$ (без точек $A$ и $B$) при данном преобразовании является вся прямая $a$.

Ответ: Искомым преобразованием является центральная проекция с центром в точке $C$ на прямой $a$, где $C$ — точка на дуге $AB$, диаметрально противоположная точке касания полуокружности и прямой $a$.