Страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

629. Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором отрезок $CD$ является образом отрезка $AB$ (рис. 160).

Рис. 160

Поскольку отрезки AB и CD имеют разную длину и непараллельны, искомое преобразование является преобразованием подобия, которое можно представить как композицию (последовательное выполнение) более простых преобразований. Опишем один из возможных способов такого преобразования:

Шаг 1: Поворот. Сначала выполним поворот отрезка AB вокруг точки A на такой угол, чтобы он стал параллелен отрезку CD. Пусть в результате этого поворота точка B перейдет в точку B'. Получим отрезок AB', который параллелен отрезку CD ($AB' \parallel CD$). Поскольку поворот является движением, длина отрезка сохраняется, то есть $|AB'| = |AB|$.

Шаг 2: Гомотетия. Далее применим к отрезку AB' гомотетию с центром в точке A. Коэффициент гомотетии $k$ должен быть равен отношению длин итогового и исходного отрезков: $k = \frac{|CD|}{|AB'|} = \frac{|CD|}{|AB|}$. В результате гомотетии точка A останется на месте, а точка B' перейдет в точку B''. Полученный отрезок AB'' будет по-прежнему параллелен отрезку CD, а его длина станет равна $|AB''| = k \cdot |AB'| = \frac{|CD|}{|AB|} \cdot |AB| = |CD|$. Таким образом, отрезок AB'' параллелен и равен по длине отрезку CD.

Шаг 3: Параллельный перенос. Наконец, выполним параллельный перенос отрезка AB'' на вектор $\vec{AC}$. При этом переносе точка A перейдет в точку C. Так как отрезки AB'' и CD параллельны, равны по длине и, будем считать, сонаправлены (этого можно добиться выбором направления поворота), то точка B'' перейдет в точку D. Следовательно, отрезок AB'' отобразится на отрезок CD.

Таким образом, последовательное выполнение указанных преобразований (поворот, гомотетия и параллельный перенос) переводит отрезок AB в отрезок CD.

Ответ: Преобразование, при котором отрезок CD является образом отрезка AB, можно задать как композицию трех преобразований: 1) поворот отрезка AB вокруг точки A до положения, в котором он станет параллелен отрезку CD; 2) гомотетия с центром в точке A и коэффициентом $k = \frac{|CD|}{|AB|}$; 3) параллельный перенос на вектор $\vec{AC}$.

630. Рассмотрим окружность радиуса $r$ с центром в точке $O$. Каждой точке $X$ окружности поставим в соответствие точку $X_1$, принадлежащую радиусу $OX$, такую, что $OX_1 = \frac{1}{2}r$. Какая фигура является образом данной окружности? Является ли движением описанное преобразование?

Какая фигура является образом данной окружности?

По условию, нам дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Для каждой точки $X$ на этой окружности ее образ $X_1$ лежит на радиусе $OX$ и удовлетворяет условию $OX_1 = \frac{1}{2}r$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до любой точки-образа $X_1$ является постоянной величиной, равной $\frac{1}{2}r$. Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки (центра), есть окружность. Таким образом, все точки $X_1$ образуют окружность с тем же центром $O$, но с радиусом $r_1 = \frac{1}{2}r$. Данное преобразование является гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Ответ: Образом данной окружности является окружность с тем же центром $O$ и радиусом, равным половине радиуса исходной окружности, то есть $r_1 = \frac{1}{2}r$.

Является ли движением описанное преобразование?

Движением (или изометрией) называется преобразование, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Чтобы определить, является ли данное преобразование движением, проверим, сохраняется ли расстояние между точками. Рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$ на исходной окружности, которые являются концами диаметра. Расстояние между ними равно диаметру окружности: $AB = 2r$. Их образами будут точки $A_1$ и $B_1$. Точка $A_1$ лежит на радиусе $OA$ так, что $OA_1 = \frac{1}{2}r$. Точка $B_1$ лежит на радиусе $OB$ так, что $OB_1 = \frac{1}{2}r$. Так как точки $A$ и $B$ диаметрально противоположны, их образы $A_1$ и $B_1$ также будут диаметрально противоположны на новой окружности. Расстояние между ними будет равно диаметру новой окружности: $A_1B_1 = OA_1 + OB_1 = \frac{1}{2}r + \frac{1}{2}r = r$. Сравнивая расстояние между исходными точками ($AB = 2r$) и их образами ($A_1B_1 = r$), мы видим, что $AB \neq A_1B_1$ (поскольку $r > 0$). Так как расстояние между точками не сохраняется, данное преобразование не является движением.
Ответ: Нет, описанное преобразование не является движением.

631. Дан угол $AOB$ (рис. 161). Каждой точ-ке $X$ стороны $OA$ поставим в соответ-ствие точку $X_1$, которая принадлежит стороне $OB$ и лежит на окружности с центром $O$ радиуса $OX$ (точке $O$ по-ставим в соответствие точку $O$). Ка-кая фигура является образом сторо-ны $OA$? Докажите, что описанное преобразование является движением.

Какая фигура является образом стороны OA?
По условию задачи, каждой точке $X$, принадлежащей стороне (лучу) $OA$, сопоставляется точка $X_1$ на стороне (луче) $OB$. Это сопоставление происходит по правилу: точка $X_1$ находится на том же расстоянии от вершины угла $O$, что и точка $X$. То есть, для любой точки $X$ на луче $OA$ и ее образа $X_1$ на луче $OB$ выполняется равенство $OX = OX_1$.
Когда точка $X$ перемещается по всему лучу $OA$, ее расстояние от точки $O$ принимает все неотрицательные значения (от $0$ до бесконечности). Поскольку $OX_1 = OX$, расстояние точки $X_1$ от точки $O$ также будет принимать все неотрицательные значения. Так как точка $X_1$ по определению лежит на луче $OB$, она пройдет все точки этого луча.
Таким образом, каждой точке луча $OA$ соответствует единственная точка на луче $OB$, и наоборот, каждая точка луча $OB$ является образом некоторой единственной точки луча $OA$. Следовательно, образом стороны $OA$ является сторона $OB$.

Ответ: Образом стороны $OA$ является сторона $OB$.

Докажите, что описанное преобразование является движением.
Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Чтобы доказать, что описанное преобразование является движением, нам нужно взять две произвольные точки $X$ и $Y$ на луче $OA$ и показать, что расстояние между ними, $XY$, равно расстоянию между их образами $X_1$ и $Y_1$ на луче $OB$.
Пусть $X$ и $Y$ — две произвольные точки на луче $OA$. Пусть их образы на луче $OB$ — это точки $X_1$ и $Y_1$ соответственно.
По определению преобразования, мы имеем следующие равенства:
1) $OX = OX_1$
2) $OY = OY_1$
Для определённости, предположим, что точка $X$ расположена между точкой $O$ и точкой $Y$ (или совпадает с одной из них). Так как все три точки $O$, $X$, $Y$ лежат на одном луче $OA$, расстояние между $X$ и $Y$ равно разности их расстояний от начала луча:
$XY = OY - OX$
Из условия $OY \ge OX$ и равенств (1) и (2) следует, что $OY_1 \ge OX_1$. Так как точки $O$, $X_1$ и $Y_1$ лежат на одном луче $OB$, это означает, что точка $X_1$ расположена между $O$ и $Y_1$. Поэтому расстояние между $X_1$ и $Y_1$ можно вычислить аналогично:
$X_1Y_1 = OY_1 - OX_1$
Теперь, используя равенства (1) и (2), подставим $OY$ вместо $OY_1$ и $OX$ вместо $OX_1$ в формулу для $X_1Y_1$:
$X_1Y_1 = OY - OX$
Сравнивая выражения для $XY$ и $X_1Y_1$, получаем:
$XY = X_1Y_1$
Мы показали, что расстояние между любыми двумя точками $X$ и $Y$ на луче $OA$ равно расстоянию между их образами $X_1$ и $Y_1$. Следовательно, данное преобразование сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ: Описанное преобразование является движением, так как оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками.

632. Дан угол $MON$. Каждой точке $X$ стороны $OM$ поставлена в соответствие такая точка $X_1$ стороны $ON$, что прямая $XX_1$ перпендикулярна биссектрисе угла $MON$ (точке $O$ соответствует точка $O$). Докажите, что описанное преобразование является движением.

Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Чтобы доказать, что описанное преобразование является движением, необходимо показать, что для любых двух точек $A$ и $B$ на стороне $OM$ расстояние между ними равно расстоянию между их образами $A_1$ и $B_1$ на стороне $ON$. То есть, требуется доказать, что $AB = A_1B_1$.

Пусть $l$ – биссектриса угла $MON$. Рассмотрим произвольную точку $X$ на стороне $OM$ и соответствующую ей точку $X_1$ на стороне $ON$. По условию, прямая $XX_1$ перпендикулярна биссектрисе $l$. Пусть $P$ – точка их пересечения.

Рассмотрим треугольник $ΔXOX_1$. В этом треугольнике отрезок $OP$ (часть биссектрисы $l$) является одновременно:

1. Биссектрисой угла $∠XOX_1$, так как $l$ – биссектриса угла $MON$.
2. Высотой, опущенной на сторону $XX_1$, так как по условию $XX_1 \perp l$.

Треугольник, в котором биссектриса, проведенная из вершины, совпадает с высотой, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ΔXOX_1$ – равнобедренный с основанием $XX_1$, и его боковые стороны равны: $OX = OX_1$.

Этот результат означает, что данное преобразование сохраняет расстояние от вершины угла $O$ до любой точки на его стороне.

Теперь возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на стороне $OM$. Пусть их образы – это точки $A_1$ и $B_1$ на стороне $ON$. Без ограничения общности, предположим, что точка $A$ лежит между точками $O$ и $B$. Тогда расстояние между ними равно $AB = OB - OA$.

Из доказанного выше свойства преобразования следует, что $OA = OA_1$ и $OB = OB_1$.

Поскольку $A$ лежит между $O$ и $B$, то $OA < OB$. Из этого следует, что $OA_1 < OB_1$, а значит, точка $A_1$ на луче $ON$ также лежит между $O$ и $B_1$. Расстояние между образами $A_1$ и $B_1$ равно $A_1B_1 = OB_1 - OA_1$.

Подставляя полученные ранее равенства, получаем:

$A_1B_1 = OB_1 - OA_1 = OB - OA$.

Так как $AB = OB - OA$, мы приходим к выводу, что $A_1B_1 = AB$.

Поскольку расстояние между произвольными точками $A$ и $B$ равно расстоянию между их образами $A_1$ и $B_1$, данное преобразование сохраняет расстояние и, следовательно, является движением. Фактически, описанное преобразование является осевой симметрией относительно биссектрисы угла $MON$, а любая осевая симметрия является движением.

Ответ: Утверждение доказано. Описанное преобразование является движением.

633. Даны прямая $a$ и отрезок $AB$, не имеющий с ней общих точек. Каждой точке $X$ отрезка $AB$ поставлено в соответствие основание перпендикуляра, опущенного из точки $X$ на прямую $a$. При каком взаимном расположении прямой $a$ и отрезка $AB$ описанное преобразование является движением?

Описанное преобразование представляет собой ортогональное проектирование точек отрезка $AB$ на прямую $a$. Пусть $X$ — произвольная точка на отрезке $AB$, а $X'$ — ее проекция на прямую $a$. Преобразование является движением (изометрией), если оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это означает, что для любых двух точек $X$ и $Y$ на отрезке $AB$ расстояние между ними должно быть равно расстоянию между их проекциями $X'$ и $Y'$. В частности, это должно выполняться и для концов отрезка, то есть длина отрезка $AB$ должна быть равна длине его проекции $A'B'$:

$|AB| = |A'B'|$

Рассмотрим четырехугольник $AA'B'B$. Так как $AA'$ и $BB'$ являются перпендикулярами к прямой $a$, то они параллельны друг другу ($AA' \parallel BB'$). Следовательно, четырехугольник $AA'B'B$ — прямоугольная трапеция с основаниями $AA'$ и $BB'$ и прямыми углами при вершинах $A'$ и $B'$.

Проведем из точки $A$ высоту $AC$ к отрезку $BB'$. Получим прямоугольный треугольник $ACB$ с гипотенузой $AB$ и катетами $AC$ и $CB$.

Длина катета $AC$ равна длине проекции $A'B'$, так как $AA'B'C$ — прямоугольник. То есть, $|AC| = |A'B'|$.

Длина катета $CB$ равна разности расстояний от точек $A$ и $B$ до прямой $a$: $|CB| = ||BB'| - |AA'||$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACB$ имеем:

$|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2$

Подставим известные нам соотношения:

$|AB|^2 = |A'B'|^2 + ( |BB'| - |AA'| )^2$

Как мы установили ранее, для того чтобы преобразование было движением, необходимо выполнение условия $|AB| = |A'B'|$. Подставим это в полученное уравнение:

$|A'B'|^2 = |A'B'|^2 + ( |BB'| - |AA'| )^2$

Вычитая $|A'B'|^2$ из обеих частей, получаем:

$0 = ( |BB'| - |AA'| )^2$

Это равенство выполняется только тогда, когда $|BB'| - |AA'| = 0$, то есть $|BB'| = |AA'|$.

Это означает, что расстояния от концов отрезка $A$ и $B$ до прямой $a$ должны быть одинаковыми. Поскольку по условию отрезок $AB$ не имеет общих точек с прямой $a$, обе точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от нее. Если две точки лежат по одну сторону от прямой и равноудалены от нее, то отрезок, соединяющий эти точки, параллелен данной прямой.

Таким образом, для того чтобы описанное преобразование было движением, отрезок $AB$ должен быть параллелен прямой $a$.

Ответ: Описанное преобразование является движением, если отрезок $AB$ параллелен прямой $a$.

634. Точки $A_1$ и $B_1$ не принадлежат прямой $AB$ и являются образами соответственно точек $A$ и $B$ при параллельном переносе. Докажите, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ – параллелограмм.

По условию задачи, точки $A_1$ и $B_1$ являются образами точек $A$ и $B$ соответственно при параллельном переносе.

Параллельный перенос определяется вектором. Пусть $\vec{v}$ — вектор этого параллельного переноса.

По определению параллельного переноса, вектор, проведенный из точки-прообраза в ее образ, равен вектору переноса. Следовательно, мы имеем следующие векторные равенства:

$\vec{AA_1} = \vec{v}$

$\vec{BB_1} = \vec{v}$

Из этих равенств следует, что $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.

Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Отсюда мы получаем два вывода:

1. Длины векторов равны: $|\vec{AA_1}| = |\vec{BB_1}|$. Это означает, что длины отрезков $AA_1$ и $BB_1$ равны: $AA_1 = BB_1$.

2. Векторы сонаправлены, а значит, прямые, на которых лежат эти отрезки, параллельны: $AA_1 \parallel BB_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. Вершины этого четырехугольника идут в порядке A, A₁, B₁, B. Его противоположными сторонами являются $AA_1$ и $B_1B$.

Мы уже показали, что $AA_1 = BB_1$ и $AA_1 \parallel BB_1$. Отрезок $B_1B$ — это тот же отрезок, что и $BB_1$, поэтому их длины равны ($B_1B = BB_1$), и они лежат на одной и той же прямой.

Таким образом, для противоположных сторон $AA_1$ и $B_1B$ четырехугольника $AA_1B_1B$ выполняются условия:

1. $AA_1 = B_1B$ (так как $AA_1 = BB_1$ и $BB_1 = B_1B$).

2. $AA_1 \parallel B_1B$ (так как прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ совпадает с прямой $B_1B$).

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. Условие, что точки $A_1$ и $B_1$ не принадлежат прямой $AB$, гарантирует, что четырехугольник не вырожден (т.е. все его вершины не лежат на одной прямой).

Следовательно, четырехугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.

635. Точки $A_1$ и $B_1$ являются образами соответственно точек $A$ и $B$ при параллельном переносе. Найдите длину отрезка $A_1B_1$, если $AB = 5 \text{ см}$.

Параллельный перенос является одним из видов движения (изометрии). Основное свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояние между точками.

В условии задачи сказано, что точки $A_1$ и $B_1$ являются образами точек $A$ и $B$ при параллельном переносе. Это означает, что отрезок $A_1B_1$ является образом отрезка $AB$.

Поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния, длина отрезка-образа $A_1B_1$ будет равна длине исходного отрезка $AB$.

Математически это свойство записывается как:

$|A_1B_1| = |AB|$

Нам дано, что длина отрезка $AB$ равна 5 см.

$|AB| = 5$ см

Следовательно, длина отрезка $A_1B_1$ также равна 5 см.

Ответ: 5 см.

636. Вектор $\vec{m}$ параллелен прямой $a$. Какая фигура является образом прямой $a$ при параллельном переносе на вектор $\vec{m}$?

Параллельный перенос на вектор $\vec{m}$ — это преобразование, при котором каждая точка $A$ фигуры переходит в такую точку $A'$, что вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{m}$.

Пусть дана прямая $a$ и вектор $\vec{m}$, который по условию параллелен этой прямой ($\vec{m} \parallel a$).

Возьмем произвольную точку $A$, принадлежащую прямой $a$ ($A \in a$). При параллельном переносе на вектор $\vec{m}$, точка $A$ перейдет в точку $A'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{AA'} = \vec{m}$.

Поскольку начальная точка вектора $\vec{AA'}$, то есть точка $A$, лежит на прямой $a$, а сам вектор $\vec{AA'}$ (равный вектору $\vec{m}$) параллелен прямой $a$, то и его конечная точка, точка $A'$, также будет лежать на этой же прямой $a$.

Это рассуждение верно для абсолютно любой точки, взятой на прямой $a$. Каждая точка прямой $a$ при данном переносе переходит в другую точку, которая также лежит на прямой $a$. Следовательно, вся прямая $a$ отображается на саму себя.

Ответ: Образом прямой $a$ при параллельном переносе на параллельный ей вектор $\vec{m}$ является сама прямая $a$.

637. Дан параллелограмм $ABCD$. Какой вектор задаёт параллельный перенос, при котором сторона $AD$ является образом стороны $BC$?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все её точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такой перенос задаётся вектором.

По условию, в результате параллельного переноса сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ переходит в сторону $AD$. Это означает, что образ точки $B$ лежит на прямой $AD$, и образ точки $C$ также лежит на прямой $AD$. При этом сам отрезок $BC$ переходит в отрезок $AD$.

Поскольку при параллельном переносе сохраняется направление и порядок точек, то конечная точка отрезка $BC$, точка $B$, переходит в конечную точку отрезка $AD$, точку $A$. Аналогично, точка $C$ переходит в точку $D$.

Вектор параллельного переноса определяется как вектор, начало которого находится в исходной точке (прообразе), а конец — в точке, в которую она переходит (образе). Таким образом, если точка $B$ переходит в точку $A$, то вектор переноса равен $\vec{BA}$.

Проверим это для второй пары точек: точка $C$ переходит в точку $D$, что задает вектор переноса $\vec{CD}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Если рассматривать их как векторы, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB}$ и $\vec{CD} = -\vec{DC}$. Отсюда получаем, что $\vec{BA} = -(-\vec{CD}) = \vec{CD}$.

Таким образом, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны и задают один и тот же параллельный перенос, при котором сторона $BC$ переходит в сторону $AD$.

Ответ: $\vec{BA}$ (или равный ему вектор $\vec{CD}$).

638. Существует ли параллельный перенос, при котором сторона $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ является образом стороны $BC$?

Предположим, что такой параллельный перенос существует.

Параллельный перенос — это вид движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Основное свойство параллельного переноса заключается в том, что он переводит любую прямую в параллельную ей прямую (или в саму себя). Следовательно, отрезок при параллельном переносе переходит в равный ему и параллельный ему отрезок.

В условии задачи сказано, что сторона $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ является образом стороны $BC$. Если бы это было возможно, то, согласно свойству параллельного переноса, отрезок $AB$ должен был бы быть параллелен отрезку $BC$.

Однако стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ не параллельны, поскольку они имеют общую вершину $B$ и пересекаются, образуя угол $\angle ABC$. В равностороннем треугольнике этот угол равен $60^\circ$. Так как прямые, содержащие эти стороны, пересекаются, они не могут быть параллельными.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше первоначальное предположение о существовании такого параллельного переноса неверно.

Ответ: нет, такой параллельный перенос не существует.