Номер 630, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

630. Рассмотрим окружность радиуса $r$ с центром в точке $O$. Каждой точке $X$ окружности поставим в соответствие точку $X_1$, принадлежащую радиусу $OX$, такую, что $OX_1 = \frac{1}{2}r$. Какая фигура является образом данной окружности? Является ли движением описанное преобразование?

Какая фигура является образом данной окружности?

По условию, нам дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Для каждой точки $X$ на этой окружности ее образ $X_1$ лежит на радиусе $OX$ и удовлетворяет условию $OX_1 = \frac{1}{2}r$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до любой точки-образа $X_1$ является постоянной величиной, равной $\frac{1}{2}r$. Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки (центра), есть окружность. Таким образом, все точки $X_1$ образуют окружность с тем же центром $O$, но с радиусом $r_1 = \frac{1}{2}r$. Данное преобразование является гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Ответ: Образом данной окружности является окружность с тем же центром $O$ и радиусом, равным половине радиуса исходной окружности, то есть $r_1 = \frac{1}{2}r$.

Является ли движением описанное преобразование?

Движением (или изометрией) называется преобразование, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Чтобы определить, является ли данное преобразование движением, проверим, сохраняется ли расстояние между точками. Рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$ на исходной окружности, которые являются концами диаметра. Расстояние между ними равно диаметру окружности: $AB = 2r$. Их образами будут точки $A_1$ и $B_1$. Точка $A_1$ лежит на радиусе $OA$ так, что $OA_1 = \frac{1}{2}r$. Точка $B_1$ лежит на радиусе $OB$ так, что $OB_1 = \frac{1}{2}r$. Так как точки $A$ и $B$ диаметрально противоположны, их образы $A_1$ и $B_1$ также будут диаметрально противоположны на новой окружности. Расстояние между ними будет равно диаметру новой окружности: $A_1B_1 = OA_1 + OB_1 = \frac{1}{2}r + \frac{1}{2}r = r$. Сравнивая расстояние между исходными точками ($AB = 2r$) и их образами ($A_1B_1 = r$), мы видим, что $AB \neq A_1B_1$ (поскольку $r > 0$). Так как расстояние между точками не сохраняется, данное преобразование не является движением.
Ответ: Нет, описанное преобразование не является движением.