Номер 628, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

628. Прямая $a$ касается полуокружности $AB$ с центром в точке $O$ (рис. 159). Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором прямая $a$ является образом полуокружности $AB$ с «выколотыми» точками $A$ и $B$.

Рис. 159

Рис. 160

Для того чтобы образом конечной дуги окружности стала вся бесконечная прямая, необходимо использовать преобразование, которое отображает по крайней мере одну точку дуги в бесконечность. Таким свойством обладает центральная проекция (или перспективная проекция), если ее центр выбрать на самой дуге.

Рассмотрим предложенную конфигурацию: дана полуокружность $AB$ с центром в точке $O$ и касательная к ней прямая $a$. Пусть точка касания — $T$.

В качестве искомого преобразования выберем центральную проекцию на прямую $a$.

1. Прямая проекции: прямая $a$.

2. Центр проекции: выберем центр проекции $C$ на дуге $AB$ (между точками $A$ и $B$). Чтобы проекция покрыла всю прямую $a$, необходимо, чтобы касательная к дуге в точке $C$ была параллельна прямой $a$.В данной конфигурации прямая $a$ касается окружности в точке $T$. Касательная к окружности параллельна прямой $a$ в точке $C$, диаметрально противоположной точке $T$. Таким образом, в качестве центра проекции $C$ следует выбрать точку на дуге $AB$, которая диаметрально противоположна точке касания $T$. Из симметрии, показанной на рисунке 159, видно, что эта точка $C$ является серединой дуги $AB$.

3. Процесс преобразования: Каждая точка $X$ на дуге $AB$ (кроме точек $A$, $B$ и $C$) отображается в точку $X'$ на прямой $a$, которая является точкой пересечения прямой $CX$ и прямой $a$.

Обоснование, почему образом является вся прямая $a$:

Разобьем открытую дугу $AB$ на две части: дугу $AC$ и дугу $CB$ (точка $C$ исключена из рассмотрения, так как проекция из собственного центра не определена в конечной плоскости).

• Рассмотрим образ дуги $AC$ (без концов). Когда точка $X$ движется по дуге от $A$ к $C$, ее образ $X'$ движется по прямой $a$. Образом точки $A$ является точка $A' = CA \cap a$. Когда точка $X$ приближается к $C$, прямая $CX$ (секущая) стремится занять положение касательной к окружности в точке $C$. Поскольку мы выбрали точку $C$ так, что касательная в ней параллельна прямой $a$, точка $X'$ будет уходить в бесконечность. Таким образом, образом открытой дуги $AC$ является открытый луч на прямой $a$, начинающийся в точке $A'$ и уходящий в бесконечность в одном направлении.
• Аналогично рассмотрим образ дуги $CB$ (без концов). Образом точки $B$ является точка $B' = CB \cap a$. Когда точка $X$ приближается к $C$ со стороны $B$, ее образ $X'$ также уходит в бесконечность, но уже в противоположном направлении по прямой $a$. Таким образом, образом открытой дуги $CB$ является открытый луч, начинающийся в точке $B'$ и уходящий в бесконечность в другом направлении.

Объединение этих двух лучей дает всю прямую $a$. Точки $A$ и $B$ по условию "выколоты", то есть не принадлежат множеству, которое мы преобразуем. Центр проекции $C$ также не имеет образа на конечной прямой $a$. Следовательно, образом множества точек полуокружности $AB$ (без точек $A$ и $B$) при данном преобразовании является вся прямая $a$.

Ответ: Искомым преобразованием является центральная проекция с центром в точке $C$ на прямой $a$, где $C$ — точка на дуге $AB$, диаметрально противоположная точке касания полуокружности и прямой $a$.