Номер 633, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

633. Даны прямая $a$ и отрезок $AB$, не имеющий с ней общих точек. Каждой точке $X$ отрезка $AB$ поставлено в соответствие основание перпендикуляра, опущенного из точки $X$ на прямую $a$. При каком взаимном расположении прямой $a$ и отрезка $AB$ описанное преобразование является движением?

Описанное преобразование представляет собой ортогональное проектирование точек отрезка $AB$ на прямую $a$. Пусть $X$ — произвольная точка на отрезке $AB$, а $X'$ — ее проекция на прямую $a$. Преобразование является движением (изометрией), если оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это означает, что для любых двух точек $X$ и $Y$ на отрезке $AB$ расстояние между ними должно быть равно расстоянию между их проекциями $X'$ и $Y'$. В частности, это должно выполняться и для концов отрезка, то есть длина отрезка $AB$ должна быть равна длине его проекции $A'B'$:

$|AB| = |A'B'|$

Рассмотрим четырехугольник $AA'B'B$. Так как $AA'$ и $BB'$ являются перпендикулярами к прямой $a$, то они параллельны друг другу ($AA' \parallel BB'$). Следовательно, четырехугольник $AA'B'B$ — прямоугольная трапеция с основаниями $AA'$ и $BB'$ и прямыми углами при вершинах $A'$ и $B'$.

Проведем из точки $A$ высоту $AC$ к отрезку $BB'$. Получим прямоугольный треугольник $ACB$ с гипотенузой $AB$ и катетами $AC$ и $CB$.

Длина катета $AC$ равна длине проекции $A'B'$, так как $AA'B'C$ — прямоугольник. То есть, $|AC| = |A'B'|$.

Длина катета $CB$ равна разности расстояний от точек $A$ и $B$ до прямой $a$: $|CB| = ||BB'| - |AA'||$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACB$ имеем:

$|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2$

Подставим известные нам соотношения:

$|AB|^2 = |A'B'|^2 + ( |BB'| - |AA'| )^2$

Как мы установили ранее, для того чтобы преобразование было движением, необходимо выполнение условия $|AB| = |A'B'|$. Подставим это в полученное уравнение:

$|A'B'|^2 = |A'B'|^2 + ( |BB'| - |AA'| )^2$

Вычитая $|A'B'|^2$ из обеих частей, получаем:

$0 = ( |BB'| - |AA'| )^2$

Это равенство выполняется только тогда, когда $|BB'| - |AA'| = 0$, то есть $|BB'| = |AA'|$.

Это означает, что расстояния от концов отрезка $A$ и $B$ до прямой $a$ должны быть одинаковыми. Поскольку по условию отрезок $AB$ не имеет общих точек с прямой $a$, обе точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от нее. Если две точки лежат по одну сторону от прямой и равноудалены от нее, то отрезок, соединяющий эти точки, параллелен данной прямой.

Таким образом, для того чтобы описанное преобразование было движением, отрезок $AB$ должен быть параллелен прямой $a$.

Ответ: Описанное преобразование является движением, если отрезок $AB$ параллелен прямой $a$.