Номер 622, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Постройте образ точки E и прообраз точки F при данном преобразовании.

1. Образ точки E. Точка $E$ принадлежит отрезку $AB$. Согласно определению преобразования, ее образ (обозначим его $E'$) — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на прямую $a$.
Построение: С помощью угольника или циркуля и линейки проводим через точку $E$ прямую $l$, перпендикулярную прямой $a$ ($l \perp a$). Точка пересечения $E' = l \cap a$ является искомым образом точки $E$.

2. Прообраз точки F. Точка $F$ лежит на прямой $a$. Ее прообразом будет такая точка $P$ на отрезке $AB$, проекция которой на прямую $a$ совпадает с точкой $F$. Это означает, что точка $P$ должна лежать на перпендикуляре к прямой $a$, проведенном через точку $F$.
Построение: Через точку $F$ проводим прямую $m$, перпендикулярную прямой $a$ ($m \perp a$). Точка пересечения прямой $m$ с отрезком $AB$ (обозначим ее $P$) и будет прообразом точки $F$. Судя по рисунку, такое пересечение существует.

Ответ: Образ точки $E$ – это точка $E'$ на прямой $a$, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из $E$ на $a$. Прообраз точки $F$ – это точка $P$ на отрезке $AB$, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из $F$ на прямую, содержащую отрезок $AB$.

Существуют ли точки прямой a, не имеющие прообраза?

По условию, прообраз любой точки должен принадлежать отрезку $AB$. Образом всего отрезка $AB$ при данном преобразовании (ортогональном проектировании) является отрезок $A'B'$ на прямой $a$, где $A'$ и $B'$ — проекции точек $A$ и $B$ соответственно.

Это означает, что прообраз на отрезке $AB$ имеют только те точки прямой $a$, которые принадлежат отрезку $A'B'$. Любая точка на прямой $a$, находящаяся вне отрезка $A'B'$, не может быть проекцией какой-либо точки отрезка $AB$. Перпендикуляр, проведенный из такой внешней точки к прямой $a$, не пересечет отрезок $AB$.

Ответ: Да, существуют. Это все точки прямой $a$, которые не принадлежат отрезку $A'B'$, являющемуся ортогональной проекцией отрезка $AB$ на прямую $a$.

Постройте образ отрезка AB.

Преобразование, описанное в задаче, является ортогональным проектированием. Образом отрезка при ортогональном проектировании на прямую является отрезок (или точка, если исходный отрезок перпендикулярен прямой, что не соответствует данному рисунку).

Чтобы построить образ отрезка $AB$, достаточно найти образы его конечных точек, $A$ и $B$, и соединить их отрезком.

Построение:
1. Из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $a$. Основание этого перпендикуляра — точка $A'$.
2. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $a$. Основание этого перпендикуляра — точка $B'$.
3. Отрезок $A'B'$, концами которого являются построенные точки, и есть образ отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, где точки $A'$ и $B'$ являются ортогональными проекциями точек $A$ и $B$ на прямую $a$.