Номер 11, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Какими движениями являются параллельные переносы на векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$?

Рассмотрим два движения: параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ и параллельный перенос на вектор $-\vec{a}$. Чтобы определить, какими движениями они являются по отношению друг к другу, проанализируем их композицию, то есть результат их последовательного применения.

Пусть $T_{\vec{a}}$ — это параллельный перенос на вектор $\vec{a}$, а $T_{-\vec{a}}$ — параллельный перенос на вектор $-\vec{a}$. Вектор $-\vec{a}$ является противоположным вектору $\vec{a}$, то есть он имеет ту же длину (модуль), но направлен в противоположную сторону.

Возьмем произвольную точку $M$ и применим к ней сначала перенос $T_{\vec{a}}$, а затем $T_{-\vec{a}}$.

1. Применение переноса $T_{\vec{a}}$ переводит точку $M$ в точку $M'$, так что вектор смещения $\vec{MM'} = \vec{a}$.
2. Применение переноса $T_{-\vec{a}}$ к полученной точке $M'$ переводит её в точку $M''$, так что вектор смещения $\vec{M'M''} = -\vec{a}$.

Чтобы найти итоговое смещение точки $M$, необходимо сложить векторы последовательных смещений: $\vec{MM''} = \vec{MM'} + \vec{M'M''} = \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Так как итоговый вектор смещения равен нулевому вектору ($\vec{0}$), конечная точка $M''$ совпадает с начальной точкой $M$. Это означает, что композиция преобразований $T_{-\vec{a}} \circ T_{\vec{a}}$ является тождественным преобразованием (каждая точка остается на своем месте).

Аналогично, если сначала применить перенос $T_{-\vec{a}}$, а затем $T_{\vec{a}}$, итоговое смещение также будет равно $\vec{0}$: $\vec{MM_{итог}} = -\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$.

Два движения (преобразования), композиция которых в любом порядке является тождественным преобразованием, называются взаимно обратными.

Ответ: Параллельные переносы на векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ являются взаимно обратными движениями.