Номер 4, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. В каком случае фигуру $F_1$ называют образом фигуры $F$, а фигуру $F$ – прообразом фигуры $F_1$?

Понятия «образ» и «прообраз» в геометрии неразрывно связаны с концепцией геометрического преобразования. Геометрическое преобразование — это правило или функция, которая каждой точке плоскости (или пространства) сопоставляет другую точку.

Пусть задано некоторое геометрическое преобразование. Если мы применим это преобразование ко всем точкам, из которых состоит фигура $F$, то получим новое множество точек. Это новое множество точек и образует фигуру $F_1$.

При таком преобразовании:

• Фигура $F_1$ называется образом фигуры $F$.
• Фигура $F$ называется прообразом фигуры $F_1$.

Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Каждая точка фигуры $F$ преобразуется в одну и только одну точку.
2. Множество всех полученных точек-образов в точности составляет фигуру $F_1$. Это значит, что каждая точка фигуры $F_1$ является образом хотя бы одной точки из фигуры $F$.

Проще говоря, фигура $F_1$ является образом фигуры $F$, если $F_1$ можно получить из $F$ путём какого-либо преобразования (например, параллельного переноса, поворота, симметрии, гомотетии).

Ответ: Фигуру $F_1$ называют образом фигуры $F$, а фигуру $F$ — прообразом фигуры $F_1$ в том случае, если существует такое геометрическое преобразование, которое переводит каждую точку фигуры $F$ в некоторую точку, и совокупность всех этих точек-образов составляет фигуру $F_1$.