Номер 2, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Приведите примеры преобразований фигур.

Преобразование фигуры — это правило, по которому каждой точке данной фигуры сопоставляется некоторая точка. В результате все точки фигуры перемещаются, образуя новую фигуру. Ниже приведены основные примеры таких преобразований.

Параллельный перенос

Это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Задается это смещение с помощью вектора, который называется вектором переноса. При параллельном переносе фигура не изменяет своих размеров и формы, а только меняет свое положение, то есть является движением. Представьте, что вы двигаете книгу по столу, не поворачивая ее. Каждая точка на книге переместится на одинаковое расстояние и в одинаковом направлении.

Математически, если точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, а вектор переноса — $\vec{a}(a; b)$, то новая точка $M'$ будет иметь координаты $(x'; y')$, где:
$x' = x + a$
$y' = y + b$

Ответ: Параллельный перенос — это сдвиг фигуры на заданный вектор без изменения ее ориентации и размеров.

Поворот

Это преобразование, при котором фигура поворачивается на определенный угол вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота. Все точки фигуры перемещаются по дугам окружностей с общим центром в центре поворота. Расстояние от любой точки фигуры до центра поворота остается неизменным, поэтому поворот также является движением. Примером может служить вращение стрелок часов вокруг центра циферблата.

Математически, если точка $M(x; y)$ поворачивается вокруг начала координат $(0; 0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, то ее новые координаты $M'(x'; y')$ вычисляются по формулам:
$x' = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha)$
$y' = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)$

Ответ: Поворот — это вращение фигуры вокруг некоторой точки на заданный угол.

Осевая симметрия (отражение)

Это преобразование, при котором каждой точке фигуры $F$ сопоставляется точка $F'$, симметричная ей относительно некоторой прямой, называемой осью симметрии. Прямая, соединяющая исходную точку и ее образ, перпендикулярна оси симметрии и делится ею пополам. Фигура и ее образ являются зеркальными отражениями друг друга и сохраняют размеры, поэтому это движение. Пример из жизни — отражение в зеркале или в гладкой поверхности воды.

Математически, при симметрии относительно оси абсцисс ($Ox$) точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(x; -y)$. При симметрии относительно оси ординат ($Oy$) точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; y)$.

Ответ: Осевая симметрия — это "зеркальное" отражение фигуры относительно прямой (оси).

Центральная симметрия

Это преобразование, при котором каждой точке фигуры $F$ сопоставляется точка $F'$, симметричная ей относительно некоторой точки, называемой центром симметрии. Исходная точка, ее образ и центр симметрии лежат на одной прямой, причем центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего точку и ее образ. Центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов и также является движением.

Математически, при симметрии относительно начала координат $O(0; 0)$ точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; -y)$.

Ответ: Центральная симметрия — это отражение фигуры относительно точки (центра), что эквивалентно повороту на 180° вокруг этой точки.

Гомотетия (преобразование подобия)

Это преобразование, при котором фигура равномерно растягивается или сжимается относительно некоторой точки, называемой центром гомотетии. Каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что вектор $\vec{OM'}$ равен вектору $\vec{OM}$, умноженному на некоторое число $k$, называемое коэффициентом гомотетии.
$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$
Если $|k| > 1$, происходит растяжение (увеличение).
Если $0 < |k| < 1$, происходит сжатие (уменьшение).
Если $k < 0$, преобразование сочетает растяжение/сжатие с центральной симметрией.
При гомотетии форма фигуры сохраняется, а размеры изменяются пропорционально. Примерами являются масштабирование изображений на компьютере, работа проектора или фотоаппарата.

Математически, если центр гомотетии — начало координат $O(0; 0)$, то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(kx; ky)$.

Ответ: Гомотетия — это преобразование, которое изменяет размеры фигуры (увеличивает или уменьшает), но сохраняет ее форму.