Номер 9, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Точка M – середина стороны BC треугольника ABC. Какое из данных равенств верно?

А) $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$

В) $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Б) $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Г) $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC}$

Для решения этой задачи воспользуемся правилами сложения векторов. Вектор $\overrightarrow{AM}$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Мы можем выразить этот вектор через векторы сторон $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Рассмотрим два способа выразить вектор $\overrightarrow{AM}$ по правилу треугольника:

1. Через вершину $B$: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$
2. Через вершину $C$: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$

Сложим эти два векторных равенства:$ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AM} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}) $

$ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} $

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $BC$, векторы $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{CM}$ имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что их сумма равна нулевому вектору:$ \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = \vec{0} $

Подставим это в наше уравнение:$ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \vec{0} $$ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} $

Разделив обе части равенства на 2, получим выражение для вектора медианы $\overrightarrow{AM}$:$ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:

• А) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ — неверно. Это было бы верно, если бы $ABMC$ был параллелограммом.
• Б) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — неверно.
• В) $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — верно. Это в точности совпадает с нашим результатом.
• Г) $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — неверно. Это равенство определяет вектор $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.

Следовательно, правильным является равенство В).

Ответ: В