Страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая из данных величин является векторной?

А) масса

Б) объём

В) скорость

Г) время

Чтобы определить, какая из величин является векторной, необходимо понять разницу между скалярными и векторными величинами. Скалярные величины характеризуются только числовым значением (модулем). Векторные величины, помимо числового значения, имеют и направление в пространстве.

Рассмотрим каждую из предложенных величин:

А) масса
Масса — это мера инертности тела. Она характеризуется только числовым значением (например, 10 кг). У массы нет направления, поэтому она является скалярной величиной.
Ответ: не является векторной.

Б) объём
Объём — это величина, показывающая, какую часть пространства занимает тело. Он также характеризуется только числовым значением (например, 3 м³). У объёма нет направления, это скалярная величина.
Ответ: не является векторной.

В) скорость
Скорость — это физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения тела и направление его движения. Чтобы полностью описать скорость, нужно указать и её модуль (например, 20 м/с), и её направление (например, на юг). Поэтому скорость является векторной величиной. Вектор скорости обозначается как $\vec{v}$.
Ответ: является векторной.

Г) время
Время — это мера продолжительности процессов. Оно характеризуется только числовым значением (например, 60 секунд). Хотя мы говорим о "течении времени", у него нет направления в пространстве, поэтому время является скалярной величиной.
Ответ: не является векторной.

2. Чему равен модуль вектора, начало и конец которого совпадают?

А) $1$ Б) $-1$ В) $5$ Г) $0$

2.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором (или нуль-вектором). Он обозначается как $\vec{0}$ или $\vec{AA}$, где $A$ — точка, являющаяся одновременно и началом, и концом вектора.

Модуль вектора (также называемый длиной или нормой вектора) — это расстояние между его начальной и конечной точками. По определению, расстояние — это неотрицательная величина.

Пусть вектор задан своими начальной точкой $A(x_1, y_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2)$. Модуль вектора $\vec{AB}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

По условию задачи, начало и конец вектора совпадают, то есть $A=B$. Это означает, что их координаты равны: $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$.

Подставим эти равенства в формулу для вычисления модуля:

$|\vec{AA}| = \sqrt{(x_1 - x_1)^2 + (y_1 - y_1)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, модуль вектора, начало и конец которого совпадают, равен 0.

Проанализируем предложенные варианты ответов:

• А) 1 – неверно.
• Б) -1 – неверно, так как модуль вектора по определению не может быть отрицательным.
• В) 5 – неверно.
• Г) 0 – верно.

Ответ: 0

3. Дан параллелограмм ABCD. Какое из равенств является верным?

А) $\vec{AB} = \vec{DC}$

В) $\vec{BC} = \vec{DA}$

Б) $\vec{AB} = \vec{CD}$

Г) $\vec{AC} = \vec{BD}$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определение параллелограмма и свойства равенства векторов.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны и равны по длине. Это означает, что $AB$ параллельна $DC$ и $BC$ параллельна $AD$. Также равны их длины: $|AB| = |DC|$ и $|BC| = |AD|$. Вершины параллелограмма принято называть в порядке обхода (по или против часовой стрелки).

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

Рассмотрим каждое из предложенных равенств:

А) $\vec{AB} = \vec{DC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ лежат на параллельных прямых $AB$ и $DC$. Их длины равны, так как это длины противоположных сторон параллелограмма: $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$. При последовательном обозначении вершин $ABCD$, векторы, направленные от $A$ к $B$ и от $D$ к $C$, будут иметь одинаковое направление. Таким образом, эти векторы равны. Равенство верно.

Б) $\vec{AB} = \vec{CD}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ имеют равные длины ($|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$), но их направления противоположны. Вектор $\vec{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\vec{CD}$ — от $C$ к $D$. Такие векторы являются противоположными, то есть $\vec{AB} = -\vec{CD}$. Равенство неверно.

В) $\vec{BC} = \vec{DA}$
Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ имеют равные длины, так как они соответствуют противоположным сторонам параллелограмма ($|\vec{BC}| = |\vec{DA}| = |AD|$). Однако их направления противоположны. Вектор $\vec{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\vec{DA}$ — от $D$ к $A$. Для них выполняется соотношение $\vec{BC} = -\vec{DA}$ (или, что то же самое, $\vec{BC} = \vec{AD}$). Равенство неверно.

Г) $\vec{AC} = \vec{BD}$
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ представляют собой диагонали параллелограмма. В общем случае диагонали параллелограмма не равны по длине и не параллельны друг другу. Следовательно, эти векторы не могут быть равны. Равенство неверно.

Ответ: Верным является равенство А) $\vec{AB} = \vec{DC}$.

4. Известно, что $\vec{AM} = \vec{MB}$. Какое из данных утверждений верно?

А) точка B – середина отрезка AM

Б) точка A – середина отрезка MB

В) точка M – середина отрезка AB

Г) точка M – вершина равнобедренного треугольника AMB

Равенство векторов $\vec{AM} = \vec{MB}$ означает, что эти векторы являются коллинеарными, сонаправленными и равными по модулю (длине).

1. Сонаправленность и коллинеарность. Вектор $\vec{AM}$ направлен от точки A к точке M. Вектор $\vec{MB}$ направлен от точки M к точке B. Поскольку у этих векторов есть общая точка M (конец первого и начало второго) и они сонаправлены, это означает, что все три точки A, M и B лежат на одной прямой, причём точка M находится строго между точками A и B.

2. Равенство модулей. Из равенства векторов следует равенство их длин: $|\vec{AM}| = |\vec{MB}|$. Это означает, что длина отрезка AM равна длине отрезка MB, то есть $AM = MB$.

Объединив эти два вывода, мы получаем, что точка M лежит на отрезке AB и делит его на две равные части. Это является точным определением середины отрезка. Следовательно, точка M — середина отрезка AB.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

А) точка B – середина отрезка AM
Это утверждение означало бы, что точки лежат в порядке A, B, M на одной прямой и $AB = BM$. Это противоречит нашему выводу, что M лежит между A и B. Следовательно, утверждение неверно.

Б) точка A – середина отрезка MB
Это утверждение означало бы, что точки лежат в порядке M, A, B на одной прямой и $MA = AB$. Это также противоречит нашему выводу. Следовательно, утверждение неверно.

В) точка M – середина отрезка AB
Это утверждение полностью соответствует нашему выводу, что точка M лежит между A и B и $AM = MB$. Следовательно, утверждение верно.

Г) точка M – вершина равнобедренного треугольника AMB
Для того чтобы точки A, M, B образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой (быть коллинеарными). Как мы установили, из условия $\vec{AM} = \vec{MB}$ следует, что точки A, M, B лежат на одной прямой. Таким образом, они не могут образовывать треугольник. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: В)

5. Даны точки $A (-3; 4)$, $B (1; -8)$. Точка $M$ – середина отрезка $AB$.

Чему равны координаты вектора $\vec{AM}$?

А) $(2; -6)$

Б) $(-2; 6)$

В) $(-2; -6)$

Г) $(6; -2)$

Для решения задачи необходимо выполнить два шага. Сначала нужно найти координаты точки $M$ — середины отрезка $AB$. Затем, зная координаты точек $A$ и $M$, можно найти координаты вектора $\vec{AM}$.

1. Нахождение координат точки M
Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, координаты его середины $M(x_M; y_M)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим в эти формулы координаты данных точек $A(-3; 4)$ и $B(1; -8)$:
$x_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(-1; -2)$.

2. Нахождение координат вектора $\vec{AM}$
Координаты вектора, заданного начальной и конечной точками, равны разности соответствующих координат конечной и начальной точек. Для вектора $\vec{AM}$ с началом в точке $A(x_A; y_A)$ и концом в точке $M(x_M; y_M)$ формула выглядит так:
$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A)$
Подставим известные координаты точек $A(-3; 4)$ и $M(-1; -2)$:
$x_{\vec{AM}} = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$
$y_{\vec{AM}} = -2 - 4 = -6$
Следовательно, координаты вектора $\vec{AM}$ равны $(2; -6)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом А.

Ответ: А) (2; -6)

6. При каком значении $x$ векторы $\vec{a}(x; 2)$ и $\vec{b}(-4; 8)$ коллинеарны?

А) -1

Б) 1

В) 0

Г) $\frac{1}{2}$

Два ненулевых вектора $\vec{a}(a_x; a_y)$ и $\vec{b}(b_x; b_y)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Условие коллинеарности можно записать в виде пропорции:

$\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y}$

Для векторов $\vec{a}(x; 2)$ и $\vec{b}(-4; 8)$, заданных в условии, это соотношение будет выглядеть так:

$\frac{x}{-4} = \frac{2}{8}$

Чтобы решить это уравнение, сначала упростим дробь в правой части:

$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{x}{-4} = \frac{1}{4}$

Выразим $x$, умножив обе части уравнения на $-4$:

$x = \frac{1}{4} \cdot (-4)$

$x = -\frac{4}{4}$

$x = -1$

Ответ: -1

7. Какое из данных равенств верно?

А) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{CA}$

Б) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

В) $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{BC}$

Г) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{DA}$

А) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$.По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равна вектору $\overrightarrow{AC}$, который соединяет начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C). Таким образом, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Равенство из условия принимает вид $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$.Вектор $\overrightarrow{CA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$.Равенство $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AC}$ выполняется только в том случае, если $\overrightarrow{AC}$ - нулевой вектор, то есть точки A и C совпадают, что в общем случае неверно.Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

Б) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$.Рассмотрим левую часть равенства. По правилу треугольника, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Рассмотрим правую часть равенства. По правилу треугольника, $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$.Подставляя полученные результаты в исходное равенство, получаем тождество $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$.Это равенство верно для любых точек A, B, C, D.Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: равенство верно.

В) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$.Разность векторов можно представить как сумму с противоположным вектором: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC})$.Так как $-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$, то левая часть равенства преобразуется к виду $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}$.Поменяв слагаемые местами для удобства применения правила треугольника, получим: $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$.По правилу треугольника, $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$.Равенство $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$ выполняется только если $\overrightarrow{BC}$ - нулевой вектор, то есть точки B и C совпадают, что в общем случае неверно.Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

Г) Проверим равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA}$.Преобразуем левую часть, используя правило многоугольника (последовательное применение правила треугольника).Сначала сложим первые два вектора: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Теперь добавим третий вектор: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$.По правилу треугольника, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.Таким образом, левая часть равенства равна $\overrightarrow{AD}$.Исходное равенство принимает вид $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$.Вектор $\overrightarrow{DA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AD}$, то есть $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$.Равенство $\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AD}$ выполняется только если $\overrightarrow{AD}$ - нулевой вектор, то есть точки A и D совпадают, что в общем случае неверно.Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

8. Дан вектор $\vec{a} (\sqrt{3}; -2)$. Какой из векторов равен вектору $\sqrt{3}\vec{a}$?

А) $\vec{m} (1; -2\sqrt{3})$

Б) $\vec{n} (-3; -2\sqrt{3})$

В) $\vec{p} (3; -2)$

Г) $\vec{q} (3; -2\sqrt{3})$

Для того чтобы найти координаты вектора $\sqrt{3}\vec{a}$, необходимо каждую координату исходного вектора $\vec{a}(\sqrt{3}; -2)$ умножить на скаляр $\sqrt{3}$.

Правило умножения вектора $\vec{v}(x; y)$ на скаляр $k$ задается формулой: $k\vec{v} = (k \cdot x; k \cdot y)$.

Применим это правило для нашего случая:

$\sqrt{3}\vec{a} = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}; \sqrt{3} \cdot (-2))$

Теперь вычислим значения для каждой координаты:

Первая координата: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Вторая координата: $\sqrt{3} \cdot (-2) = -2\sqrt{3}$.

Таким образом, искомый вектор $\sqrt{3}\vec{a}$ имеет координаты $(3; -2\sqrt{3})$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

А) $\vec{m}(1; -2\sqrt{3})$. Неверно, так как первая координата не совпадает ($1 \neq 3$).

Б) $\vec{n}(-3; -2\sqrt{3})$. Неверно, так как первая координата не совпадает ($-3 \neq 3$).

В) $\vec{p}(3; -2)$. Неверно, так как вторая координата не совпадает ($-2 \neq -2\sqrt{3}$).

Г) $\vec{q}(3; -2\sqrt{3})$. Верно, обе координаты совпадают с вычисленными.

Ответ: Г

9. Точка M – середина стороны BC треугольника ABC. Какое из данных равенств верно?

А) $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$

В) $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Б) $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Г) $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC}$

Для решения этой задачи воспользуемся правилами сложения векторов. Вектор $\overrightarrow{AM}$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Мы можем выразить этот вектор через векторы сторон $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Рассмотрим два способа выразить вектор $\overrightarrow{AM}$ по правилу треугольника:

1. Через вершину $B$: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$
2. Через вершину $C$: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$

Сложим эти два векторных равенства:$ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AM} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}) $

$ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} $

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $BC$, векторы $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{CM}$ имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что их сумма равна нулевому вектору:$ \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = \vec{0} $

Подставим это в наше уравнение:$ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \vec{0} $$ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} $

Разделив обе части равенства на 2, получим выражение для вектора медианы $\overrightarrow{AM}$:$ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:

• А) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ — неверно. Это было бы верно, если бы $ABMC$ был параллелограммом.
• Б) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — неверно.
• В) $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — верно. Это в точности совпадает с нашим результатом.
• Г) $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ — неверно. Это равенство определяет вектор $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.

Следовательно, правильным является равенство В).

Ответ: В

10. Чему равно скалярное произведение векторов $\vec{a}$ (2; -3) и $\vec{b}$ (3; -2)?

А) 12

Б) -12

В) 0

Г) 6

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ в координатной форме вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Даны векторы $\vec{a}(2; -3)$ и $\vec{b}(3; -2)$. Подставим их координаты в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2)$

Выполним вычисления:

$2 \cdot 3 = 6$

$(-3) \cdot (-2) = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 + 6 = 12$

Скалярное произведение данных векторов равно 12.

Ответ: 12