Страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

597. При каком значении $y$ скалярное произведение векторов $\vec{a} (4; y)$ и $\vec{b} (3; -2)$ равно 14?

Для нахождения неизвестной координаты $y$ воспользуемся определением скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
В условии задачи даны векторы $\vec{a}(4; y)$ и $\vec{b}(3; -2)$. Также известно, что их скалярное произведение равно 14.
Подставим координаты векторов в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + y \cdot (-2)$
Приравняем это выражение к 14, как указано в условии, и получим уравнение:
$4 \cdot 3 + y \cdot (-2) = 14$
Теперь решим это линейное уравнение относительно переменной $y$:
$12 - 2y = 14$
Перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:
$-2y = 14 - 12$
$-2y = 2$
Разделим обе части уравнения на -2:
$y = \frac{2}{-2}$
$y = -1$
Таким образом, при $y = -1$ скалярное произведение данных векторов будет равно 14.
Ответ: -1

598. При каких значениях x угол между векторами $\vec{a} (2; 5)$ и $\vec{b} (x; 4)$:

1) острый;

2) тупой?

Даны векторы $\vec{a}(2; 5)$ и $\vec{b}(x; 4)$.
Тип угла между двумя ненулевыми векторами (острый, тупой или прямой) определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны (для ненулевых векторов), знак $\cos(\theta)$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

- Если угол острый ($0^\circ < \theta < 90^\circ$), то $\cos(\theta) > 0$, следовательно, скалярное произведение положительно: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
- Если угол тупой ($90^\circ < \theta < 180^\circ$), то $\cos(\theta) < 0$, следовательно, скалярное произведение отрицательно: $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
- Если угол прямой ($\theta = 90^\circ$), то $\cos(\theta) = 0$, следовательно, скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Найдем скалярное произведение данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = 2 \cdot x + 5 \cdot 4 = 2x + 20$.
Заметим, что оба вектора являются ненулевыми при любом значении $x$, так как их длины всегда больше нуля: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \neq 0$ и $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16} \neq 0$.

1) острый
Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно.
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$2x + 20 > 0$
$2x > -20$
$x > -10$
Ответ: при $x \in (-10; +\infty)$.

2) тупой
Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно.
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$2x + 20 < 0$
$2x < -20$
$x < -10$
Ответ: при $x \in (-\infty; -10)$.

599. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a} \ (3; -4)$, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = -100$.

По условию, вектор $\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{a}(3; -4)$. Это означает, что существует такое действительное число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Координаты вектора $\vec{b}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{a}$ и коэффициент $k$:
$\vec{b} = (k \cdot 3; k \cdot (-4)) = (3k; -4k)$

Нам также дано скалярное произведение векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -100$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

Подставим известные координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в эту формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (3k) + (-4) \cdot (-4k) = -100$

Решим полученное уравнение относительно $k$:
$9k + 16k = -100$
$25k = -100$
$k = \frac{-100}{25}$
$k = -4$

Теперь, зная значение коэффициента $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{b}$:
$\vec{b} = (3k; -4k) = (3 \cdot (-4); -4 \cdot (-4)) = (-12; 16)$

Ответ: $\vec{b}(-12; 16)$.

600. Известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны и $|\vec{a}|=|\vec{b}| \ne 0$. При каких значениях x векторы $\vec{a} + x\vec{b}$ и $\vec{a} - x\vec{b}$ перпендикулярны?

Два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Для векторов $\vec{a} + x\vec{b}$ и $\vec{a} - x\vec{b}$ это условие записывается следующим образом:

$(\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} - x\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (этот случай аналогичен формуле разности квадратов):

$(\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} - x\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot (x\vec{b}) + (x\vec{b}) \cdot \vec{a} - (x\vec{b}) \cdot (x\vec{b})$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), средние члены взаимно уничтожаются:

$\vec{a} \cdot \vec{a} - x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + x(\vec{a} \cdot \vec{b}) - x^2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - x^2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$|\vec{a}|^2 - x^2|\vec{b}|^2 = 0$

По условию задачи, модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Подставим это равенство в полученное уравнение:

$|\vec{a}|^2 - x^2|\vec{a}|^2 = 0$

Вынесем $|\vec{a}|^2$ за скобки:

$|\vec{a}|^2(1 - x^2) = 0$

По условию также известно, что $|\vec{a}| \ne 0$, следовательно, и $|\vec{a}|^2 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|^2$:

$1 - x^2 = 0$

Решая это уравнение относительно $x$, получаем:

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Ответ: $x = 1$ или $x = -1$.

601. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны. Докажите, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|.$

По определению, два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. По условию задачи векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Так как скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, члены $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются:

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля (длины): $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Применяя это свойство, получаем:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$

Перенесем $|\vec{b}|^2$ в правую часть уравнения:

$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$

Поскольку модуль вектора — это неотрицательная величина, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

602. Известно, что $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$.

Для решения данной задачи необходимо найти значение скалярного произведения $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$. Мы будем использовать свойства скалярного произведения векторов.

Сначала раскроем скобки, используя дистрибутивный закон скалярного произведения:
$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = (2\vec{a}) \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Используя свойство вынесения скаляра за знак скалярного произведения и свойство скалярного квадрата вектора ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), получаем:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$

Теперь нам нужно вычислить значение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$. По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные из условия значения: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.
Значение косинуса угла $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 6$

Далее вычислим квадрат модуля вектора $\vec{b}$:
$|\vec{b}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Наконец, подставим вычисленные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ и $|\vec{b}|^2 = 8$ в полученное ранее выражение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 6 - 8 = 12 - 8 = 4$

Ответ: 4

603. Найдите скалярное произведение $ (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}), $ если $ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, $
$ \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ. $

Для нахождения скалярного произведения $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$ раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{a} - 2\vec{b}\cdot\vec{b}$

Используя коммутативное свойство скалярного произведения ($\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$), мы можем сгруппировать подобные члены:

$\vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{b}$

Теперь воспользуемся определениями скалярного произведения:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{x}\cdot\vec{x} = |\vec{x}|^2$.
• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\angle(\vec{x}, \vec{y}))$.

Применив эти определения к нашему выражению, получим:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) - 2|\vec{b}|^2$

Подставим в это выражение данные из условия задачи: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b})=120^\circ$.

Значение косинуса угла $120^\circ$ равно:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним подстановку и произведем вычисления:

$1^2 - (1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})) - 2 \cdot 1^2 = 1 - (-\frac{1}{2}) - 2 = 1 + \frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

604. Известно, что $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ$. Найдите $|2\vec{a} + 5\vec{b}|.$

Для нахождения модуля вектора $|2\vec{a} + 5\vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения векторов, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Возведем модуль искомого вектора в квадрат:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = (2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b})$

Раскроем скобки, используя распределительный закон для скалярного произведения:

$(2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b}) = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{a}) \cdot (5\vec{b}) + (5\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) + (5\vec{b}) \cdot (5\vec{b})$

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 25(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), выражение можно упростить:

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 20(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 25(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Теперь используем определения скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим их в наше выражение:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 20|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) + 25|\vec{b}|^2$

Подставим известные значения из условия задачи: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^{\circ}$.

Найдем значение косинуса угла:

$\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь проведем вычисления:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = 4(\sqrt{3})^2 + 20(\sqrt{3})(1)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 25(1)^2$

$= 4 \cdot 3 - \frac{20 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} + 25 \cdot 1$

$= 12 - \frac{20 \cdot 3}{2} + 25$

$= 12 - 30 + 25$

$= 7$

Мы нашли квадрат модуля вектора. Чтобы найти сам модуль, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$

605. Известно, что $\left|\vec{m}\right| = 1$, $\left|\vec{n}\right| = 2$, $\angle\left(\vec{m}, \vec{n}\right) = 60^\circ$. Найдите $\left|2\vec{m} - 3\vec{n}\right|$.

Для того чтобы найти модуль вектора $|2\vec{m} - 3\vec{n}|$, мы воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

Возведем искомый модуль в квадрат:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = (2\vec{m} - 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - 3\vec{n})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:
$(2\vec{m} - 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - 3\vec{n}) = (2\vec{m}) \cdot (2\vec{m}) - 2 \cdot (2\vec{m} \cdot 3\vec{n}) + (3\vec{n}) \cdot (3\vec{n})$
$= 4(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Теперь заменим скалярные квадраты векторов на квадраты их модулей ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), а скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ выразим через их модули и косинус угла между ними: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}, \vec{n}))$.
Выражение примет вид:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = 4|\vec{m}|^2 - 12|\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}, \vec{n})) + 9|\vec{n}|^2$

Согласно условию задачи, имеем:
$|\vec{m}| = 1$
$|\vec{n}| = 2$
$\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 60^\circ$, следовательно $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в полученную формулу:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 12 \cdot (1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)) + 9 \cdot 2^2$
$= 4 \cdot 1 - 12 \cdot (2 \cdot \frac{1}{2}) + 9 \cdot 4$
$= 4 - 12 \cdot 1 + 36$
$= 4 - 12 + 36 = 28$.

Мы нашли квадрат модуля искомого вектора. Чтобы найти сам модуль, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}| = \sqrt{28}$

Упростим корень:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4}\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.

Ответ: $2\sqrt{7}$.

606. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (3; -2)$, $B (4; 0)$, $C (2; 1)$, $D (1; -1)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, достаточно проверить два условия:
1. Что этот четырехугольник является параллелограммом.
2. Что диагонали этого параллелограмма равны.

1. Проверим, является ли ABCD параллелограммом.
Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Для этого найдем координаты середин диагоналей AC и BD.
Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_O = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_O = \frac{y_1+y_2}{2}$

Найдем середину диагонали AC, где A(3; -2) и C(2; 1):
$x_{AC} = \frac{3+2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_{AC} = \frac{-2+1}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Координаты середины AC: (2.5; -0.5).

Найдем середину диагонали BD, где B(4; 0) и D(1; -1):
$x_{BD} = \frac{4+1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_{BD} = \frac{0+(-1)}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Координаты середины BD: (2.5; -0.5).

Так как координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Проверим, равны ли диагонали параллелограмма ABCD.
Длина отрезка (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Чтобы избежать работы с корнями, сравним квадраты длин диагоналей AC и BD.

Найдем квадрат длины диагонали AC:
$AC^2 = (x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2 = (2-3)^2 + (1-(-2))^2 = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$

Найдем квадрат длины диагонали BD:
$BD^2 = (x_D-x_B)^2 + (y_D-y_B)^2 = (1-4)^2 + (-1-0)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$

Так как $AC^2 = BD^2 = 10$, то длины диагоналей равны: $AC = BD$.

Поскольку ABCD является параллелограммом с равными диагоналями, по свойству прямоугольника, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

607. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-1; 4)$, $B (-2; 5)$, $C (-1; 6)$, $D (0; 5)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны между собой, а также равны его диагонали.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ на плоскости:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычисление длин сторон четырёхугольника

Найдём длину каждой стороны четырёхугольника ABCD с вершинами A(-1; 4), B(-2; 5), C(-1; 6), D(0; 5).

• Длина стороны AB:

  $AB = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

• Длина стороны BC:

  $BC = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

• Длина стороны CD:

  $CD = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

• Длина стороны DA:

  $DA = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Поскольку $AB = BC = CD = DA = \sqrt{2}$, все стороны четырёхугольника равны. Это является свойством ромба.

2. Вычисление длин диагоналей

Теперь найдём длины диагоналей AC и BD.

• Длина диагонали AC:

  $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$

• Длина диагонали BD:

  $BD = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Диагонали равны: $AC = BD = 2$.

Так как четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является квадратом, поскольку все его стороны равны $\sqrt{2}$ и его диагонали равны $2$.

608. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами $A (1; 6)$, $B (-2; 3)$, $C (2; -1)$.

Для нахождения косинусов углов треугольника с заданными вершинами, мы можем использовать векторы и их скалярное произведение. Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ - скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - их длины (модули).

Даны вершины треугольника: $A(1; 6)$, $B(-2; 3)$, $C(2; -1)$.

Косинус угла A

Угол A образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

1. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - 1; 3 - 6) = (-3; -3)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (2 - 1; -1 - 6) = (1; -7)$

2. Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18$

4. Вычислим косинус угла A:

$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\cos(A) = \frac{3}{5}$

Косинус угла B

Угол B образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

1. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (1 - (-2); 6 - 3) = (3; 3)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (2 - (-2); -1 - 3) = (4; -4)$

2. Найдем длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0$

4. Вычислим косинус угла B:

$\cos(B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0$

Ответ: $\cos(B) = 0$

Косинус угла C

Угол C образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

1. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (1 - 2; 6 - (-1)) = (-1; 7)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-2 - 2; 3 - (-1)) = (-4; 4)$

2. Найдем длины векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4 = 4 + 28 = 32$

4. Вычислим косинус угла C:

$\cos(C) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{20 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\cos(C) = \frac{4}{5}$

609. Найдите углы треугольника с вершинами $A (0; 6)$, $B (4\sqrt{3}; 6)$, $C (3\sqrt{3}; 3)$.

Для нахождения углов треугольника с заданными вершинами $A(0; 6)$, $B(4\sqrt{3}; 6)$ и $C(3\sqrt{3}; 3)$ необходимо выполнить следующие шаги: найти длины сторон треугольника, а затем, используя теорему косинусов, вычислить сами углы.

1. Нахождение длин сторон треугольника
Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
- Длина стороны $AB$ (противолежит углу $C$, обозначим ее как $c$):
$c = AB = \sqrt{(4\sqrt{3} - 0)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
- Длина стороны $BC$ (противолежит углу $A$, обозначим ее как $a$):
$a = BC = \sqrt{(3\sqrt{3} - 4\sqrt{3})^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
- Длина стороны $AC$ (противолежит углу $B$, обозначим ее как $b$):
$b = AC = \sqrt{(3\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$.

2. Нахождение углов треугольника
Теперь применим теорему косинусов. Для удобства будем использовать квадраты длин сторон: $a^2 = 12$, $b^2 = 36$, $c^2 = 48$.

Угол A
Косинус угла $A$ вычисляется по формуле: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$\cos A = \frac{36 + 48 - 12}{2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{72}{48\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\angle A = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Угол B
Косинус угла $B$ вычисляется по формуле: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
$\cos B = \frac{12 + 48 - 36}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{24}{16 \cdot 3} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\angle B = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Угол C
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому третий угол можно найти вычитанием:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$.
Проверка: можно также использовать теорему косинусов для угла $C$:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{12 + 36 - 48}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{0}{24\sqrt{3}} = 0$.
Это значение косинуса соответствует углу $\angle C = 90^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

610. Докажите, что для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется неравенство $-|\vec{a}||\vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}||\vec{b}|.$

Для доказательства данного неравенства воспользуемся определением скалярного произведения векторов и свойствами функции косинуса. Разобьем доказательство на два случая.

Случай 1: Хотя бы один из векторов является нулевым.
Если вектор $\vec{a}$ или вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором (т.е. $\vec{a} = \vec{0}$ или $\vec{b} = \vec{0}$), то его длина (модуль) равна нулю. То есть, $|\vec{a}| = 0$ или $|\vec{b}| = 0$.
В этом случае произведение длин $|\vec{a}||\vec{b}|$ равно нулю.
Скалярное произведение вектора на нулевой вектор также по определению равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Подставим эти значения в доказываемое неравенство:
$-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$
$-0 \le 0 \le 0$
Это неравенство является верным.

Случай 2: Оба вектора ненулевые.
Если оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то их скалярное произведение определяется через косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$
где $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$ — это длины векторов, а $\theta$ — угол между ними, причем $0 \le \theta \le \pi$.
Для любого угла $\theta$ значение его косинуса находится в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos(\theta) \le 1$
Так как длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ являются положительными числами, их произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$ также положительно. Мы можем умножить все части двойного неравенства для косинуса на это положительное число, при этом знаки неравенства сохранятся:
$(-1) \cdot |\vec{a}||\vec{b}| \le \cos(\theta) \cdot |\vec{a}||\vec{b}| \le (1) \cdot |\vec{a}||\vec{b}|$
Упростив, получаем:
$-|\vec{a}||\vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) \le |\vec{a}||\vec{b}|$
Теперь заменим среднюю часть этого неравенства, $|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$, на равное ему скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$
Это и есть доказываемое неравенство.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи (когда один из векторов нулевой и когда оба ненулевые), мы можем заключить, что неравенство выполняется для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

611. Определите взаимное расположение двух ненулевых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|; $

2) $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|. $

Для определения взаимного расположения векторов воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. В условии задачи дано, что векторы ненулевые, то есть $|\vec{a}| \ne 0$ и $|\vec{b}| \ne 0$.

1) Дано равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.
Подставим в это равенство формулу скалярного произведения:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) = |\vec{a}||\vec{b}|$.
Поскольку векторы ненулевые, мы можем разделить обе части уравнения на произведение их длин $|\vec{a}||\vec{b}|$, которое не равно нулю:
$\cos(\theta) = 1$.
Косинус угла равен 1, когда сам угол $\theta = 0^\circ$. Угол $0^\circ$ между векторами означает, что они коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону, то есть сонаправлены.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

2) Дано равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Аналогично первому пункту, подставим формулу скалярного произведения:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Разделим обе части уравнения на $|\vec{a}||\vec{b}|$:
$\cos(\theta) = -1$.
Косинус угла равен -1, когда сам угол $\theta = 180^\circ$. Угол $180^\circ$ между векторами означает, что они коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

612. Найдите угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $(\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} - \vec{n}) = -11$, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 3$.

Чтобы найти угол между векторами, сначала найдем их скалярное произведение. Для этого раскроем скобки в заданном уравнении, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} - \vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} - \vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot \vec{m} - 3\vec{n} \cdot \vec{n}$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$) и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), упростим выражение:

$|\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = -11$

Подставим в это уравнение известные значения длин векторов $|\vec{m}| = 2$ и $|\vec{n}| = 3$:

$2^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 3^2 = -11$

$4 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 9 = -11$

$4 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 27 = -11$

$2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 23 = -11$

Теперь решим уравнение относительно скалярного произведения $\vec{m} \cdot \vec{n}$:

$2(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 23 - 11$

$2(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 12$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 6$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ определяется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$

Подставим известные и найденные значения:

$\cos(\alpha) = \frac{6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Угол, косинус которого равен 1, это $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

613. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})=\frac{3}{2}$, $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$.

Чтобы найти угол между векторами, сначала найдем их скалярное произведение, используя данные из условия.

Раскроем скобки в левой части равенства, используя свойства скалярного произведения векторов (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot 2\vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot 2\vec{b}$

Учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$) и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), упростим выражение:

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2$

По условию $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = \frac{3}{2}$, а также $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$1^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 \cdot 1^2 = \frac{3}{2}$

$1 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = \frac{3}{2}$

$3 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2}$

Теперь выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} - 3$

$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} - \frac{6}{2}$

$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -\frac{3}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$

Скалярное произведение векторов также определяется через косинус угла $\alpha$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Выразим косинус угла и подставим известные значения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-1/2}{1 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Найдём угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$. В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ это угол $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

614. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$, $BC = \sqrt{2}$. Докажите, что его медианы $AK$ и $CM$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности медиан AK и CM воспользуемся методом векторов. Введем векторы, исходящие из вершины прямого угла C: $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = \vec{b}$.

Из условия задачи нам известно, что $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Также известны длины катетов: $AC = 1$, следовательно, $|\vec{a}| = 1$, и $BC = \sqrt{2}$, следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.

Найдем скалярные квадраты векторов:
$\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Выразим векторы медиан AK и CM через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Медиана AK проведена из вершины A к середине K стороны BC. Вектор $\vec{AK}$ можно выразить как разность векторов $\vec{CK}$ и $\vec{CA}$. Так как K — середина BC, то $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Тогда:
$\vec{AK} = \vec{CK} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

Медиана CM проведена из вершины C к середине M стороны AB. Вектор $\vec{CM}$ равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины к концам стороны, к которой проведена медиана:
$\vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.

Чтобы доказать, что медианы AK и CM перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{AK} \cdot \vec{CM} = 0$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{CM}$:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right)$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за скобки и раскроем произведение, используя дистрибутивность скалярного произведения:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\vec{b} \cdot \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b}\right)$

Используя коммутативность скалярного произведения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и определение скалярного квадрата ($\vec{x} \cdot \vec{x} = \vec{x}^2$), получим:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{2}\vec{b}^2 - \vec{a}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})\right)$

Теперь подставим известные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a}^2 = 1$ и $\vec{b}^2 = 2$:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2}(2) - 1 - 0\right) = \frac{1}{2} (0 + 1 - 1 - 0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{CM}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, медианы AK и CM также перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что медианы AK и CM перпендикулярны.