Номер 611, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

611. Определите взаимное расположение двух ненулевых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|; $

2) $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|. $

Для определения взаимного расположения векторов воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. В условии задачи дано, что векторы ненулевые, то есть $|\vec{a}| \ne 0$ и $|\vec{b}| \ne 0$.

1) Дано равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.
Подставим в это равенство формулу скалярного произведения:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) = |\vec{a}||\vec{b}|$.
Поскольку векторы ненулевые, мы можем разделить обе части уравнения на произведение их длин $|\vec{a}||\vec{b}|$, которое не равно нулю:
$\cos(\theta) = 1$.
Косинус угла равен 1, когда сам угол $\theta = 0^\circ$. Угол $0^\circ$ между векторами означает, что они коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону, то есть сонаправлены.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

2) Дано равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Аналогично первому пункту, подставим формулу скалярного произведения:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Разделим обе части уравнения на $|\vec{a}||\vec{b}|$:
$\cos(\theta) = -1$.
Косинус угла равен -1, когда сам угол $\theta = 180^\circ$. Угол $180^\circ$ между векторами означает, что они коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.