Номер 607, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

607. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-1; 4)$, $B (-2; 5)$, $C (-1; 6)$, $D (0; 5)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны между собой, а также равны его диагонали.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ на плоскости:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычисление длин сторон четырёхугольника

Найдём длину каждой стороны четырёхугольника ABCD с вершинами A(-1; 4), B(-2; 5), C(-1; 6), D(0; 5).

• Длина стороны AB:

  $AB = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

• Длина стороны BC:

  $BC = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

• Длина стороны CD:

  $CD = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

• Длина стороны DA:

  $DA = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Поскольку $AB = BC = CD = DA = \sqrt{2}$, все стороны четырёхугольника равны. Это является свойством ромба.

2. Вычисление длин диагоналей

Теперь найдём длины диагоналей AC и BD.

• Длина диагонали AC:

  $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$

• Длина диагонали BD:

  $BD = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Диагонали равны: $AC = BD = 2$.

Так как четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является квадратом, поскольку все его стороны равны $\sqrt{2}$ и его диагонали равны $2$.