Номер 614, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

614. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$, $BC = \sqrt{2}$. Докажите, что его медианы $AK$ и $CM$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности медиан AK и CM воспользуемся методом векторов. Введем векторы, исходящие из вершины прямого угла C: $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = \vec{b}$.

Из условия задачи нам известно, что $\triangle ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Также известны длины катетов: $AC = 1$, следовательно, $|\vec{a}| = 1$, и $BC = \sqrt{2}$, следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.

Найдем скалярные квадраты векторов:
$\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Выразим векторы медиан AK и CM через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Медиана AK проведена из вершины A к середине K стороны BC. Вектор $\vec{AK}$ можно выразить как разность векторов $\vec{CK}$ и $\vec{CA}$. Так как K — середина BC, то $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Тогда:
$\vec{AK} = \vec{CK} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

Медиана CM проведена из вершины C к середине M стороны AB. Вектор $\vec{CM}$ равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины к концам стороны, к которой проведена медиана:
$\vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.

Чтобы доказать, что медианы AK и CM перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{AK} \cdot \vec{CM} = 0$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{CM}$:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right)$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за скобки и раскроем произведение, используя дистрибутивность скалярного произведения:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\vec{b} \cdot \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b}\right)$

Используя коммутативность скалярного произведения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и определение скалярного квадрата ($\vec{x} \cdot \vec{x} = \vec{x}^2$), получим:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{2}\vec{b}^2 - \vec{a}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})\right)$

Теперь подставим известные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a}^2 = 1$ и $\vec{b}^2 = 2$:
$\vec{AK} \cdot \vec{CM} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2}(2) - 1 - 0\right) = \frac{1}{2} (0 + 1 - 1 - 0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{CM}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, медианы AK и CM также перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что медианы AK и CM перпендикулярны.