Номер 619, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

619. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба, делит его сторону на отрезки, один из которых на 7 см больше другого. Найдите периметр ромба, если его высота равна 24 см.

Пусть дан ромб $ABCD$, $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $AB$. По условию, точка $K$ делит сторону $AB$ на два отрезка. Обозначим их как $AK$ и $KB$. Пусть $KB = x$ см, тогда $AK = x + 7$ см. Высота ромба $h = 24$ см.

1. Найдём длину перпендикуляра $OK$. Точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех его сторон. Высота ромба — это расстояние между его параллельными сторонами (например, $AB$ и $CD$). Точка $O$ находится посередине между этими сторонами. Следовательно, длина перпендикуляра, проведённого из точки $O$ к стороне, равна половине высоты ромба:

$OK = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным. $OK$ — это высота, проведённая из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. В нашем случае:

$OK^2 = AK \cdot KB$

Подставим известные значения:

$12^2 = (x + 7) \cdot x$

$144 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

$x_2 = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 9$.

Итак, $KB = 9$ см, а $AK = 9 + 7 = 16$ см.

3. Найдём длину стороны ромба $a$:

$a = AB = AK + KB = 16 + 9 = 25$ см.

4. Найдём периметр ромба $P$. У ромба все стороны равны, поэтому:

$P = 4a = 4 \cdot 25 = 100$ см.

Ответ: 100 см.