Номер 616, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

616. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Известно, что $\angle DBC = 90^\circ$, $BD = \frac{\sqrt{3}}{4}AB$. Найдите $\angle ABD$.

Введем следующие обозначения для удобства:

• Пусть $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$.
• $BD$ — медиана, следовательно, $D$ — середина $AC$ и $AD = DC = b/2$.
• По условию, $BD = \frac{\sqrt{3}}{4}AB = \frac{\sqrt{3}}{4}c$.
• По условию, $\angle DBC = 90^\circ$.
• Искомый угол $\angle ABD = \alpha$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Аполлония (формулой для длины медианы) и теоремой Пифагора.

1. Применение теоремы Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DBC$ (так как $\angle DBC = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $DC^2 = BD^2 + BC^2$.
Подставим наши обозначения: $(b/2)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{4}c)^2 + a^2$
$\frac{b^2}{4} = \frac{3}{16}c^2 + a^2$
Отсюда выразим $b^2$: $b^2 = 4 \left( \frac{3}{16}c^2 + a^2 \right) = \frac{3}{4}c^2 + 4a^2$. (1)

2. Применение теоремы Аполлония
Теорема Аполлония для треугольника $\triangle ABC$ и медианы $BD$ гласит: $AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + AD^2)$.
Подставим наши обозначения: $c^2 + a^2 = 2 \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{4}c\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \right)$
$c^2 + a^2 = 2 \left( \frac{3}{16}c^2 + \frac{b^2}{4} \right)$
$c^2 + a^2 = \frac{3}{8}c^2 + \frac{b^2}{2}$. (2)

3. Нахождение соотношения между сторонами $a$ и $c$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными $a, b, c$. Подставим выражение для $b^2$ из уравнения (1) в уравнение (2): $c^2 + a^2 = \frac{3}{8}c^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4}c^2 + 4a^2 \right)$
$c^2 + a^2 = \frac{3}{8}c^2 + \frac{3}{8}c^2 + 2a^2$
$c^2 + a^2 = \frac{6}{8}c^2 + 2a^2$
$c^2 + a^2 = \frac{3}{4}c^2 + 2a^2$
Перегруппируем члены, чтобы найти соотношение между $a$ и $c$: $c^2 - \frac{3}{4}c^2 = 2a^2 - a^2$
$\frac{1}{4}c^2 = a^2$
Так как длины сторон должны быть положительными, $a = \frac{c}{2}$. Это означает, что $BC = \frac{1}{2}AB$.

4. Нахождение угла $\angle ABD$
Теперь, зная соотношение сторон, мы можем найти искомый угол $\alpha = \angle ABD$. Для этого применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ABC$. Угол $\angle ABC$ равен сумме углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$: $\angle ABC = \alpha + 90^\circ$.
По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cdot \cos(\alpha + 90^\circ)$.
Используя формулу приведения $\cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin(\alpha)$, получаем: $b^2 = c^2 + a^2 + 2ca \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим $a = c/2$: $b^2 = c^2 + (\frac{c}{2})^2 + 2c(\frac{c}{2}) \sin(\alpha) = c^2 + \frac{c^2}{4} + c^2 \sin(\alpha) = \frac{5}{4}c^2 + c^2 \sin(\alpha)$. (3)

У нас также есть выражение для $b^2$ из уравнения (1). Подставим в него $a = c/2$: $b^2 = \frac{3}{4}c^2 + 4a^2 = \frac{3}{4}c^2 + 4(\frac{c}{2})^2 = \frac{3}{4}c^2 + 4(\frac{c^2}{4}) = \frac{3}{4}c^2 + c^2 = \frac{7}{4}c^2$. (4)

Приравняем выражения для $b^2$ из уравнений (3) и (4): $\frac{7}{4}c^2 = \frac{5}{4}c^2 + c^2 \sin(\alpha)$.
Разделим обе части на $c^2$ (поскольку $c \neq 0$): $\frac{7}{4} = \frac{5}{4} + \sin(\alpha)$
$\sin(\alpha) = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Уравнение $\sin(\alpha) = 1/2$ для угла в треугольнике имеет два возможных решения: $\alpha = 30^\circ$ или $\alpha = 150^\circ$. Однако, если $\alpha = 150^\circ$, то $\angle ABC = \alpha + 90^\circ = 150^\circ + 90^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$ и не может быть углом треугольника. Следовательно, единственное подходящее решение — это $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 30^\circ$.