Номер 609, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

609. Найдите углы треугольника с вершинами $A (0; 6)$, $B (4\sqrt{3}; 6)$, $C (3\sqrt{3}; 3)$.

Для нахождения углов треугольника с заданными вершинами $A(0; 6)$, $B(4\sqrt{3}; 6)$ и $C(3\sqrt{3}; 3)$ необходимо выполнить следующие шаги: найти длины сторон треугольника, а затем, используя теорему косинусов, вычислить сами углы.

1. Нахождение длин сторон треугольника
Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
- Длина стороны $AB$ (противолежит углу $C$, обозначим ее как $c$):
$c = AB = \sqrt{(4\sqrt{3} - 0)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
- Длина стороны $BC$ (противолежит углу $A$, обозначим ее как $a$):
$a = BC = \sqrt{(3\sqrt{3} - 4\sqrt{3})^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
- Длина стороны $AC$ (противолежит углу $B$, обозначим ее как $b$):
$b = AC = \sqrt{(3\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$.

2. Нахождение углов треугольника
Теперь применим теорему косинусов. Для удобства будем использовать квадраты длин сторон: $a^2 = 12$, $b^2 = 36$, $c^2 = 48$.

Угол A
Косинус угла $A$ вычисляется по формуле: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$\cos A = \frac{36 + 48 - 12}{2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{72}{48\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\angle A = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Угол B
Косинус угла $B$ вычисляется по формуле: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
$\cos B = \frac{12 + 48 - 36}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{24}{16 \cdot 3} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\angle B = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Угол C
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому третий угол можно найти вычитанием:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$.
Проверка: можно также использовать теорему косинусов для угла $C$:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{12 + 36 - 48}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{0}{24\sqrt{3}} = 0$.
Это значение косинуса соответствует углу $\angle C = 90^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.