Номер 600, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

600. Известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны и $|\vec{a}|=|\vec{b}| \ne 0$. При каких значениях x векторы $\vec{a} + x\vec{b}$ и $\vec{a} - x\vec{b}$ перпендикулярны?

Два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Для векторов $\vec{a} + x\vec{b}$ и $\vec{a} - x\vec{b}$ это условие записывается следующим образом:

$(\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} - x\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (этот случай аналогичен формуле разности квадратов):

$(\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} - x\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot (x\vec{b}) + (x\vec{b}) \cdot \vec{a} - (x\vec{b}) \cdot (x\vec{b})$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), средние члены взаимно уничтожаются:

$\vec{a} \cdot \vec{a} - x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + x(\vec{a} \cdot \vec{b}) - x^2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - x^2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$|\vec{a}|^2 - x^2|\vec{b}|^2 = 0$

По условию задачи, модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Подставим это равенство в полученное уравнение:

$|\vec{a}|^2 - x^2|\vec{a}|^2 = 0$

Вынесем $|\vec{a}|^2$ за скобки:

$|\vec{a}|^2(1 - x^2) = 0$

По условию также известно, что $|\vec{a}| \ne 0$, следовательно, и $|\vec{a}|^2 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|^2$:

$1 - x^2 = 0$

Решая это уравнение относительно $x$, получаем:

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Ответ: $x = 1$ или $x = -1$.