Номер 593, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

593. Пусть точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF, сторона которого равна 1. Вычислите:

1) $\vec{BA} \cdot \vec{CD};$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CD};$

3) $\vec{AO} \cdot \vec{ED};$

4) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}.$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1 и центром $O$ все стороны равны 1. Расстояние от центра до любой вершины также равно 1, так как шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников ($OAB$, $OBC$ и т.д.). Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}| = |\vec{DE}| = |\vec{EF}| = |\vec{FA}| = |\vec{OA}| = |\vec{OB}| = \dots = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Углы в равносторонних треугольниках с вершиной в центре равны $60^\circ$.

1) Вычислим скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{CD}$. В правильном шестиугольнике вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$. Это следует из того, что четырехугольник $BCDO$ является ромбом (все стороны $BC, CD, DO, OB$ равны 1), а стороны $CD$ и $BO$ параллельны и сонаправлены.
Следовательно, $\vec{BA} \cdot \vec{CD} = \vec{BA} \cdot \vec{BO}$.
Скалярное произведение векторов определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.
Длины векторов равны $|\vec{BA}| = 1$ и $|\vec{BO}| = 1$.
Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BO}$ — это угол $\angle ABO$. Так как треугольник $AOB$ равносторонний, $\angle ABO = 60^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{BA} \cdot \vec{BO} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(\angle ABO) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Вычислим скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{CD}$. Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ шестиугольника, проходящая через центр $O$. Его можно представить как $\vec{AD} = 2\vec{OD}$. Длина этого вектора $|\vec{AD}| = 2$.
Вектор $\vec{CD}$ можно выразить через векторы, выходящие из центра $O$: $\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC}$.
Тогда скалярное произведение равно:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = (2\vec{OD}) \cdot (\vec{OD} - \vec{OC}) = 2\vec{OD} \cdot \vec{OD} - 2\vec{OD} \cdot \vec{OC}$.
$\vec{OD} \cdot \vec{OD} = |\vec{OD}|^2 = 1^2 = 1$.
$\vec{OD} \cdot \vec{OC} = |\vec{OD}| \cdot |\vec{OC}| \cdot \cos(\angle DOC)$. Угол между соседними радиус-векторами $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ равен $\angle DOC = 60^\circ$.
$\vec{OD} \cdot \vec{OC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Подставляем найденные значения:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = 2(1) - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$

3) Вычислим скалярное произведение $\vec{AO} \cdot \vec{ED}$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{ED}$ равен вектору $\vec{AB}$.
Следовательно, $\vec{AO} \cdot \vec{ED} = \vec{AO} \cdot \vec{AB}$.
Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{AB}$ выходят из одной точки $A$. Угол между ними — это угол $\angle OAB$.
Треугольник $AOB$ равносторонний, поэтому $\angle OAB = 60^\circ$.
Длины векторов равны $|\vec{AO}| = 1$ и $|\vec{AB}| = 1$.
$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle OAB) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Вычислим скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Найдем длины его сторон и угол между векторами.
Длина стороны $|\vec{CD}| = 1$.
Длина большой диагонали $|\vec{AD}| = 2$.
Длину малой диагонали $AC$ найдем по теореме косинусов для треугольника $ABC$. В этом треугольнике $AB=1$, $BC=1$, а угол $\angle ABC = 120^\circ$.
$|\vec{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Следовательно, $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.
Теперь найдем угол $\angle ACD$ в треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)$
$2^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos(\angle ACD)$
$4 = 3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos(\angle ACD)$
$4 = 4 - 2\sqrt{3}\cos(\angle ACD)$
$0 = -2\sqrt{3}\cos(\angle ACD)$, откуда $\cos(\angle ACD) = 0$.
Это означает, что $\angle ACD = 90^\circ$.
Угол $\angle ACD$ — это угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ является смежным с $\angle ACD$, но так как $\angle ACD=90^\circ$, то и $\alpha = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ перпендикулярны.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(90^\circ) = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$