Номер 587, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

587. На рисунке 144 изображён ромб $ABCD$, в котором $AB = 6$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$;

3) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

4) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

5) $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$;

6) $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.

По условию задачи дан ромб $ABCD$, в котором $AB = 6$ см и $\angle ABC = 120^\circ$.

Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = 6$ см. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle DAB = \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = AD = 6$ см и угол между ними $\angle DAB = 60^\circ$, то треугольник $ABD$ является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $BD$ также равна 6 см, а все углы равны $60^\circ$. Аналогично, треугольник $BCD$ также равносторонний.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Длины векторов $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{AD}| = 6$. Угол между векторами, исходящими из одной вершины A, равен $\angle DAB = 60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
Ответ: 18.

2) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$

Длины векторов $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{CB}| = 6$. Чтобы найти угол между векторами, приведем их к общему началу, например, к точке B. Векторы, выходящие из точки B, это $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Выразим искомые векторы через них: $\vec{AB} = -\vec{BA}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CB} = (-\vec{BA}) \cdot (-\vec{BC}) = \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18$.
Ответ: -18.

3) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$

Длины векторов $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{DC}| = 6$. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Угол между ними равен $0^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(0^\circ) = 6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$.
Ответ: 36.

4) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$

Длины векторов $|\vec{BC}| = 6$ и $|\vec{DA}| = 6$. В ромбе $ABCD$ векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны ($\vec{BC} = \vec{AD}$). Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Следовательно, $\vec{DA} = -\vec{BC}$, то есть векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ противоположно направлены, и угол между ними равен $180^\circ$.
$\vec{BC} \cdot \vec{DA} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(180^\circ) = 6 \cdot 6 \cdot (-1) = -36$.
Ответ: -36.

5) $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$

Длины векторов $|\vec{DB}| = 6$ (диагональ) и $|\vec{DC}| = 6$. Векторы исходят из одной точки D. Угол между ними равен $\angle BDC$. Так как треугольник $BCD$ равносторонний, $\angle BDC = 60^\circ$.
$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(\angle BDC) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
Ответ: 18.

6) $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$

Длины векторов $|\vec{BD}| = 6$ и $|\vec{AD}| = 6$.
Способ 1: Выразим вектор $\vec{BD}$ через векторы с общим началом в точке A, используя правило треугольника: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
$\vec{BD} \cdot \vec{AD} = (\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot \vec{AD} = \vec{AD} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 - \vec{AB} \cdot \vec{AD}$.
Из пункта 1) мы знаем, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 18$.
$|\vec{AD}|^2 = 6^2 = 36$.
Таким образом, $\vec{BD} \cdot \vec{AD} = 36 - 18 = 18$.
Способ 2: Приведем векторы к общему началу в точке D. $\vec{BD} = -\vec{DB}$ и $\vec{AD} = -\vec{DA}$.
$\vec{BD} \cdot \vec{AD} = (-\vec{DB}) \cdot (-\vec{DA}) = \vec{DB} \cdot \vec{DA}$.
Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$ равен $\angle BDA$. Так как треугольник $ABD$ равносторонний, $\angle BDA = 60^\circ$.
$\vec{DB} \cdot \vec{DA} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(\angle BDA) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
Ответ: 18.