Номер 583, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

583. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}| = 2 $, $ |\vec{b}| = 5 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} $;

2) $ |\vec{a}| = 3 $, $ |\vec{b}| = 2\sqrt{2} $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^{\circ} $;

3) $ |\vec{a}| = 4 $, $ |\vec{b}| = 1 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ} $;

4) $ |\vec{a}| = \frac{1}{2} $, $ |\vec{b}| = 6 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^{\circ} $;

5) $ |\vec{a}| = 0.3 $, $ |\vec{b}| = 0 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 137^{\circ} $.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — угол между ними.

1)

Дано: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.

Ответ: 5.

2)

Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -6 \cdot \frac{2}{2} = -6$.

Ответ: -6.

3)

Дано: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 \cdot \cos(0^\circ) = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4.

4)

Дано: $|\vec{a}| = \frac{1}{2}$, $|\vec{b}| = 6$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \cos(180^\circ) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: -3.

5)

Дано: $|\vec{a}| = 0,3$, $|\vec{b}| = 0$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 137^\circ$.

Поскольку длина одного из векторов равна нулю ($|\vec{b}| = 0$), скалярное произведение также равно нулю.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,3 \cdot 0 \cdot \cos(137^\circ) = 0$.

Ответ: 0.