Номер 581, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1) $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ имеют общее начало в точке $B$. Угол между ними равен углу $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60°$. Следовательно, угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен $60°$.

Ответ: $60°$.

2) $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Для нахождения угла между векторами необходимо совместить их начала. Совместим начало вектора $\vec{BA}$ с началом вектора $\vec{AC}$ в точке $A$. Вектор, исходящий из точки $A$ и равный вектору $\vec{BA}$, будет противоположно направлен вектору $\vec{AB}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $\angle BAC = 60°$. Угол между вектором $\vec{BA}$ (который является $-\vec{AB}$) и вектором $\vec{AC}$ будет равен $180° - \angle BAC$. Таким образом, искомый угол равен $180° - 60° = 120°$.

Ответ: $120°$.

3) $\vec{BC}$ и $\vec{AM}$

$AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$ в равностороннем треугольнике $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Следовательно, прямая $AM$ перпендикулярна прямой $BC$. Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AM}$ равен $90°$.

Ответ: $90°$.

4) $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен $\angle BAM$. В равностороннем треугольнике медиана $AM$ также является биссектрисой угла $\angle BAC$. Поскольку $\angle BAC = 60°$, то $\angle BAM = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$.

Ответ: $30°$.

5) $\vec{AB}$ и $\vec{BK}$

Рассмотрим векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BK}$, которые имеют общее начало в точке $B$. Угол между ними равен $\angle ABK$. $BK$ — медиана, а значит, и биссектриса угла $\angle ABC$. Так как $\angle ABC = 60°$, то $\angle ABK = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$. Поэтому угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BK}$ является смежным с углом между $\vec{BA}$ и $\vec{BK}$. Искомый угол равен $180° - 30° = 150°$.

Ответ: $150°$.

6) $\vec{AM}$ и $\vec{BK}$

Рассмотрим четырехугольник $FMcK$. $F$ — точка пересечения медиан, $M$ — середина $BC$, $K$ — середина $AC$. В равностороннем треугольнике медианы $AM$ и $BK$ являются также высотами. Следовательно, $AM \perp BC$ и $BK \perp AC$. Отсюда $\angle FMC = 90°$ и $\angle FKC = 90°$. Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ равен $60°$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360°$. Тогда угол $\angle MFK = 360° - \angle C - \angle FMC - \angle FKC = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°$. Угол между векторами $\vec{AM}$ и $\vec{BK}$ равен углу между их направлениями, то есть углу $\angle MFK$.

Ответ: $120°$.

7) $\vec{CF}$ и $\vec{AB}$

Точка $F$ является точкой пересечения медиан. Проведем третью медиану $CL$ (где $L$ — середина $AB$). Точка $F$ лежит на отрезке $CL$. Вектор $\vec{CF}$ сонаправлен с вектором $\vec{CL}$. Таким образом, угол между векторами $\vec{CF}$ и $\vec{AB}$ равен углу между векторами $\vec{CL}$ и $\vec{AB}$. В равностороннем треугольнике медиана $CL$ также является высотой к стороне $AB$, поэтому $CL \perp AB$. Следовательно, угол между векторами равен $90°$.

Ответ: $90°$.