Номер 584, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

584. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если:

1) $|\vec{m}| = 7\sqrt{2}, |\vec{n}| = 4, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 45^{\circ};$

2) $|\vec{m}| = 8, |\vec{n}| = \sqrt{3}, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^{\circ}.$

1)

Скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ определяется формулой: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\angle(\vec{m}, \vec{n}))$.

По условию задачи даны следующие значения: $|\vec{m}| = 7\sqrt{2}$, $|\vec{n}| = 4$ и угол между векторами $\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 45^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^{\circ})$

Значение косинуса 45 градусов равно $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисление:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 28 \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 28 \cdot \frac{2}{2} = 28 \cdot 1 = 28$.

Ответ: 28

2)

Используем ту же формулу для скалярного произведения: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\angle(\vec{m}, \vec{n}))$.

Даны значения: $|\vec{m}| = 8$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$ и угол между векторами $\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^{\circ}$.

Подставим значения в формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$

Найдем значение косинуса 150 градусов, используя формулу приведения: $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = - \frac{8 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = - \frac{8 \cdot 3}{2} = - \frac{24}{2} = -12$.

Ответ: -12