Номер 590, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

590. Известно, что скалярное произведение векторов является:
1) положительным числом;
2) отрицательным числом. Определите вид угла между векторами.

Для определения вида угла между векторами воспользуемся определением скалярного произведения. Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда являются положительными числами (для ненулевых векторов), знак скалярного произведения определяется знаком косинуса угла $\cos(\alpha)$ между ними. Угол между векторами может изменяться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

1) скалярное произведение векторов является положительным числом

Если скалярное произведение положительно, это означает, что $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Исходя из формулы, $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) > 0$. Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha)$ был положительным:

$\cos(\alpha) > 0$

В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус положителен для углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$. Такой угол называется острым.

Ответ: угол между векторами является острым.

2) скалярное произведение векторов является отрицательным числом

Если скалярное произведение отрицательно, это означает, что $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Исходя из формулы, $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) < 0$. Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha)$ был отрицательным:

$\cos(\alpha) < 0$

В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус отрицателен для углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Такой угол называется тупым.

Ответ: угол между векторами является тупым.