Номер 579, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

579. Постройте угол, величина которого равна углу между векторами $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ (рис. 140).

Рис. 140

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, отложенными от одной точки. Чтобы построить угол, величина которого равна углу между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать на плоскости произвольную точку O, которая будет вершиной угла.
2. Отложить от точки O вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{m}$. Глядя на рисунок, вектор $\vec{m}$ направлен на одну клетку вправо.
3. От той же точки O отложить вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{n}$. Вектор $\vec{n}$ направлен на две клетки вправо и на две клетки вверх.
4. Полученный угол $\angle AOB$ и есть искомый угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Чтобы найти точную величину этого угла, воспользуемся координатным методом. Примем длину стороны одной клетки за единицу. Тогда координаты векторов будут:

$\vec{m} = (1, 0)$
$\vec{n} = (2, 2)$

Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2$

Затем вычислим длины (модули) каждого вектора:
$|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равен $45^\circ$.

Ответ: Для построения угла нужно отложить векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ от одной произвольной точки. Угол, образованный полученными векторами, будет искомым. Величина этого угла составляет $45^\circ$.