Номер 9, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Чему равен скалярный квадрат вектора?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается это как $\vec{a}^2$.

Для нахождения значения скалярного квадрата воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

При вычислении скалярного квадрата вектора $\vec{a}$, мы умножаем вектор сам на себя, то есть $\vec{a} \cdot \vec{a}$. В этом случае угол между вектором и им самим равен нулю ($\alpha = 0^\circ$). Косинус нуля равен единице ($\cos(0^\circ) = 1$).

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2$

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Это важное свойство, которое часто используется для нахождения длины вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}$.

Если вектор задан своими координатами в пространстве, например, $\vec{a} = (x, y, z)$, то его скалярный квадрат вычисляется как сумма квадратов его координат:
$\vec{a}^2 = x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z = x^2 + y^2 + z^2$.
Это также соответствует квадрату его длины: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля).