Номер 2, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами?

Сонаправленными называются два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Обозначается это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Угол между двумя векторами определяется как наименьший угол между ними, когда их начала совмещены в одной точке.

Если совместить начала двух сонаправленных векторов, то они будут лежать на одном луче, исходящем из общей точки. Следовательно, угол между ними будет равен нулю.

Это можно доказать и математически, используя формулу для косинуса угла между векторами через их скалярное произведение:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По определению сонаправленных векторов, вектор $\vec{b}$ можно выразить через вектор $\vec{a}$ как $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, где $k$ — положительное число ($k > 0$).
Подставим это выражение в формулу:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot (k \vec{a})}{|\vec{a}| \cdot |k \vec{a}|} = \frac{k (\vec{a} \cdot \vec{a})}{|\vec{a}| \cdot k |\vec{a}|}$

Зная, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), получаем:
$\cos(\alpha) = \frac{k |\vec{a}|^2}{k |\vec{a}|^2} = 1$

Угол $\alpha$, косинус которого равен 1, в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ равен $0^\circ$.

Ответ: Угол между двумя сонаправленными векторами равен $0^\circ$ (ноль градусов) или $0$ радиан.