Номер 5, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. В каких пределах измеряется угол между любыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению является наименьшим углом, образованным этими векторами, если их отложить от одной точки.

Рассмотрим возможные взаимные расположения векторов:

• Минимальный угол: Если векторы сонаправлены, то есть указывают в одном и том же направлении, угол между ними равен $0^\circ$ (или $0$ радиан).
• Максимальный угол: Если векторы направлены в противоположные стороны, угол между ними равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это развернутый угол.
• Промежуточные случаи: Для всех остальных ориентаций векторов, например, когда они перпендикулярны (угол $90^\circ$), угол будет находиться между $0^\circ$ и $180^\circ$.

По соглашению, угол между векторами не может превышать $180^\circ$, так как всегда рассматривается наименьший из двух возможных углов, которые они образуют.

Это также следует из формулы для косинуса угла между векторами, которая выводится из определения скалярного произведения:

$\cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Область значений функции косинуса – это отрезок $[-1, 1]$. Углы $\phi$, для которых $\cos(\phi)$ принимает значения в этом диапазоне, лежат в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Таким образом, угол $\phi$ между любыми двумя векторами всегда удовлетворяет неравенству:

$0^\circ \le \phi \le 180^\circ$

В радианной мере это соответствует:

$0 \le \phi \le \pi$

Ответ: Угол между любыми векторами измеряется в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ включительно (или от $0$ до $\pi$ радиан).