Страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Опишите, как можно построить угол, величина которого равна углу между двумя ненулевыми и несонаправленными векторами.

1. Угол между двумя ненулевыми векторами по определению — это угол между лучами, которые выходят из одной точки и сонаправлены с данными векторами. Чтобы построить такой угол, необходимо привести векторы к общему началу.

Пусть даны два ненулевых и несонаправленных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Алгоритм построения угла между ними следующий:

1. Выбираем на плоскости (или в пространстве) произвольную точку, которую обозначим как $O$. Эта точка будет вершиной искомого угла.
2. От точки $O$ откладываем вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$. Это значит, что вектор $\vec{OA}$ должен иметь такое же направление и такую же длину, как и вектор $\vec{a}$ ($\vec{OA} = \vec{a}$).
3. От той же самой точки $O$ откладываем вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$ ($\vec{OB} = \vec{b}$).
4. В результате построения мы получаем два луча, $OA$ и $OB$, выходящие из одной точки $O$. Угол $\angle AOB$ между этими лучами и есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Так как по условию векторы ненулевые, точки $A$ и $B$ не совпадут с точкой $O$. Так как они несонаправлены, лучи $OA$ и $OB$ не совпадут, и образуется угол, величина которого будет строго больше $0^\circ$ и меньше или равна $180^\circ$.

Ответ: Чтобы построить угол, равный углу между двумя данными ненулевыми и несонаправленными векторами, следует отложить от произвольной точки векторы, равные данным. Угол, образованный построенными векторами с общим началом, и будет искомым.

2. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами?

Сонаправленными называются два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Обозначается это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Угол между двумя векторами определяется как наименьший угол между ними, когда их начала совмещены в одной точке.

Если совместить начала двух сонаправленных векторов, то они будут лежать на одном луче, исходящем из общей точки. Следовательно, угол между ними будет равен нулю.

Это можно доказать и математически, используя формулу для косинуса угла между векторами через их скалярное произведение:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По определению сонаправленных векторов, вектор $\vec{b}$ можно выразить через вектор $\vec{a}$ как $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, где $k$ — положительное число ($k > 0$).
Подставим это выражение в формулу:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot (k \vec{a})}{|\vec{a}| \cdot |k \vec{a}|} = \frac{k (\vec{a} \cdot \vec{a})}{|\vec{a}| \cdot k |\vec{a}|}$

Зная, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), получаем:
$\cos(\alpha) = \frac{k |\vec{a}|^2}{k |\vec{a}|^2} = 1$

Угол $\alpha$, косинус которого равен 1, в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ равен $0^\circ$.

Ответ: Угол между двумя сонаправленными векторами равен $0^\circ$ (ноль градусов) или $0$ радиан.

3. Чему равен угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если хотя бы один из них нулевой?

Угол между двумя векторами определяется, когда оба вектора являются ненулевыми. Это связано как с алгебраическим определением угла, так и с его геометрическим смыслом.

1. Алгебраическое определение. Угол $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится через их скалярное произведение по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов.

Если хотя бы один из векторов, например $\vec{a}$, является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то его длина равна нулю: $|\vec{a}| = 0$. В этом случае знаменатель в формуле для косинуса угла обращается в ноль:

$|\vec{a}| |\vec{b}| = 0 \cdot |\vec{b}| = 0$

Скалярное произведение нулевого вектора на любой другой вектор также равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \cdot \vec{b} = 0$.

Тогда выражение для косинуса угла принимает вид $\frac{0}{0}$, что является математической неопределенностью. Таким образом, с точки зрения формулы, угол не определен.

2. Геометрический смысл. Угол между векторами — это мера отклонения одного направления от другого. Нулевой вектор, который представляется точкой, не имеет длины и, что более важно, не имеет определенного направления. Поскольку у нулевого вектора нет направления, невозможно определить угол между ним и каким-либо другим вектором.

Таким образом, понятие угла между векторами вводится только для ненулевых векторов.

Ответ: Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определен.

4. Как обозначают угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это угол, образованный лучами, которые выходят из одной точки и сонаправлены с данными векторами. Этот угол принято считать наименьшим из возможных, поэтому его величина находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

Существует несколько общепринятых способов обозначения угла между векторами:

• С помощью символа "крышки" (циркумфлекса) над парой векторов в скобках: $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$. Это наиболее распространенное обозначение в русскоязычной литературе.
• С помощью знака угла: $\angle(\vec{a}, \vec{b})$.

Иногда угол обозначают какой-либо греческой буквой (например, $\alpha$, $\varphi$, $\gamma$), уточняя, что это угол между конкретными векторами: $\alpha = (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Ответ: $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ или $\angle(\vec{a}, \vec{b})$.

5. В каких пределах измеряется угол между любыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению является наименьшим углом, образованным этими векторами, если их отложить от одной точки.

Рассмотрим возможные взаимные расположения векторов:

• Минимальный угол: Если векторы сонаправлены, то есть указывают в одном и том же направлении, угол между ними равен $0^\circ$ (или $0$ радиан).
• Максимальный угол: Если векторы направлены в противоположные стороны, угол между ними равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это развернутый угол.
• Промежуточные случаи: Для всех остальных ориентаций векторов, например, когда они перпендикулярны (угол $90^\circ$), угол будет находиться между $0^\circ$ и $180^\circ$.

По соглашению, угол между векторами не может превышать $180^\circ$, так как всегда рассматривается наименьший из двух возможных углов, которые они образуют.

Это также следует из формулы для косинуса угла между векторами, которая выводится из определения скалярного произведения:

$\cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Область значений функции косинуса – это отрезок $[-1, 1]$. Углы $\phi$, для которых $\cos(\phi)$ принимает значения в этом диапазоне, лежат в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Таким образом, угол $\phi$ между любыми двумя векторами всегда удовлетворяет неравенству:

$0^\circ \le \phi \le 180^\circ$

В радианной мере это соответствует:

$0 \le \phi \le \pi$

Ответ: Угол между любыми векторами измеряется в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ включительно (или от $0$ до $\pi$ радиан).

6. Какие векторы называют перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$.

Это геометрическое определение. Существует также алгебраическое определение, связанное со скалярным произведением векторов.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если векторы перпендикулярны, то угол $\alpha = 90^\circ$, а косинус этого угла $\cos(90^\circ) = 0$. Следовательно, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0$.

Это свойство является ключевым для проверки перпендикулярности векторов, заданных своими координатами. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x_1; y_1; z_1\}$, а вектор $\vec{b}$ — $\{x_2; y_2; z_2\}$, то их скалярное произведение вычисляется как:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (обозначается как $\vec{a} \perp \vec{b}$) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

По определению, нулевой вектор считается перпендикулярным любому вектору.

Ответ: Перпендикулярными называют два ненулевых вектора, угол между которыми равен $90^\circ$. Также можно сказать, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

7. Что называют скалярным произведением двух векторов?

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

Основная формула, выражающая геометрический смысл скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \gamma$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\gamma$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Скалярное произведение можно также вычислить через координаты векторов в прямоугольной декартовой системе координат. В этом случае оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов:

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1, y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2\}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Для векторов в пространстве $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Из определения следует важное свойство: скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны), так как косинус угла $90^\circ$ равен нулю.

Ответ: Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

8. Что называют скалярным квадратом вектора?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называют скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается скалярный квадрат как $\vec{a}^2$.

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для скалярного квадрата мы имеем произведение вектора на самого себя, то есть $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$. В этом случае угол между векторами равен нулю ($\alpha = 0^\circ$), а косинус нуля равен единице ($\cos(0^\circ) = 1$).

Подставив эти значения в формулу, получим:

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2$

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Это свойство является ключевым и широко используется в векторной алгебре. Так как длина вектора — величина неотрицательная, ее квадрат также всегда неотрицателен.

Ответ: Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение вектора на самого себя. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.

9. Чему равен скалярный квадрат вектора?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается это как $\vec{a}^2$.

Для нахождения значения скалярного квадрата воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

При вычислении скалярного квадрата вектора $\vec{a}$, мы умножаем вектор сам на себя, то есть $\vec{a} \cdot \vec{a}$. В этом случае угол между вектором и им самим равен нулю ($\alpha = 0^\circ$). Косинус нуля равен единице ($\cos(0^\circ) = 1$).

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2$

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Это важное свойство, которое часто используется для нахождения длины вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}$.

Если вектор задан своими координатами в пространстве, например, $\vec{a} = (x, y, z)$, то его скалярный квадрат вычисляется как сумма квадратов его координат:
$\vec{a}^2 = x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z = x^2 + y^2 + z^2$.
Это также соответствует квадрату его длины: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля).

10. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.

Условие перпендикулярности (или ортогональности) двух ненулевых векторов вытекает из определения их скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла $ \theta $ между ними:
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) $

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $ 90^\circ $. Косинус угла $ 90^\circ $ равен нулю:
$ \cos(90^\circ) = 0 $

Подставляя это значение в формулу скалярного произведения, получаем:
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0 $

Поскольку по условию векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ являются ненулевыми, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ отличны от нуля. Следовательно, произведение $ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \neq 0 $. Это означает, что равенство $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ выполняется тогда и только тогда, когда $ \cos(\theta) = 0 $, то есть когда угол $ \theta $ равен $ 90^\circ $.

Таким образом, формулируется необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
$ \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $

В координатной форме это условие выглядит следующим образом. Для векторов на плоскости с координатами $ \vec{a} = (x_1; y_1) $ и $ \vec{b} = (x_2; y_2) $ условие перпендикулярности имеет вид $ x_1x_2 + y_1y_2 = 0 $. Для векторов в пространстве с координатами $ \vec{a} = (x_1; y_1; z_1) $ и $ \vec{b} = (x_2; y_2; z_2) $ условие перпендикулярности имеет вид $ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0 $.

Ответ: Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

11. Что следует из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, если $\vec{a} \ne \vec{0}$ и $\vec{b} \ne \vec{0}$?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\theta$ — угол между ними.

Согласно условию, скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Также дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не являются нулевыми, то есть $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$. Это означает, что их длины отличны от нуля: $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$.

Подставим известное значение в формулу скалярного произведения:

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) = 0$

Произведение нескольких множителей равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как по условию $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$, то их произведение $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ также не равно нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы оставшийся множитель был равен нулю:

$\cos(\theta) = 0$

Это уравнение справедливо, когда угол $\theta$ равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Угол в $90^\circ$ между векторами означает, что они перпендикулярны (ортогональны) друг другу.

Ответ: Из равенства следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются перпендикулярными (ортогональными).

12. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты?

Чтобы найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты, необходимо найти сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Рассмотрим случаи для векторов на плоскости и в пространстве.

Пусть даны два вектора на плоскости: $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2)$.

Их скалярное произведение, обозначаемое как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$, вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Это означает, что нужно перемножить первые координаты (абсциссы) векторов, затем перемножить вторые координаты (ординаты) векторов и сложить полученные произведения.

Пример: Найти скалярное произведение векторов $\vec{m} = (2; -5)$ и $\vec{n} = (4; 1)$.
Решение: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 4 + (-5) \cdot 1 = 8 - 5 = 3$.

Ответ: Скалярное произведение векторов на плоскости $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

Пусть даны два вектора в пространстве: $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2; z_2)$.

Их скалярное произведение вычисляется аналогично, но с добавлением произведения третьих координат (аппликат):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$

Это означает, что нужно попарно перемножить первые, вторые и третьи координаты векторов, а затем сложить все три полученных произведения.

Пример: Найти скалярное произведение векторов $\vec{p} = (1; -3; 6)$ и $\vec{q} = (5; 2; -1)$.
Решение: $\vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = 5 - 6 - 6 = -7$.

Ответ: Скалярное произведение векторов в пространстве $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

13. Как найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны их координаты?

Для нахождения косинуса угла между двумя ненулевыми векторами по их координатам используется формула, вытекающая из определения скалярного произведения векторов.

Пусть даны два ненулевых вектора в трехмерном пространстве: $ \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\} $. Угол между ними обозначим как $ \theta $.

Существует два способа определить скалярное произведение векторов $ \vec{a} \cdot \vec{b} $:

1. Геометрическое определение: Скалярное произведение равно произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.
   $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta $

2. Алгебраическое определение (через координаты): Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
   $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем равенство:
$ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $

Из этого равенства можно выразить косинус угла $ \theta $:
$ \cos \theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

Числитель этой дроби — это скалярное произведение векторов, вычисленное через координаты. Знаменатель — это произведение длин (модулей) векторов.

Длина (модуль) вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат:
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $
$ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} $

Подставив формулы для длин векторов в выражение для косинуса, получим итоговую формулу для нахождения косинуса угла между векторами по их координатам.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

1. Найти скалярное произведение векторов: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $.
2. Найти длину каждого вектора: $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $.
3. Разделить скалярное произведение на произведение длин векторов.

Ответ: Косинус угла $ \theta $ между двумя ненулевыми векторами $ \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\} $ находится по формуле:
$ \cos \theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} $

14. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и любого действительного числа (скаляра) $k$ справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. Переместительное (коммутативное) свойство.

   От перестановки векторов-сомножителей скалярное произведение не меняется. Это означает, что порядок векторов в скалярном произведении не имеет значения.

   $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

   Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

2. Сочетательное (ассоциативное) свойство относительно скалярного множителя.

   При умножении скалярного произведения на число, можно умножить на это число любой из векторов-сомножителей. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

   $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$

   Ответ: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

3. Распределительное (дистрибутивное) свойство относительно сложения векторов.

   Скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого из слагаемых векторов на третий вектор.

   $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

   Ответ: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

4. Скалярный квадрат вектора.

   Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля). Это свойство связывает скалярное произведение с геометрическим понятием длины. Скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен.

   $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \ge 0$

   Скалярный квадрат равен нулю тогда и только тогда, когда вектор является нулевым: $\vec{a}^2 = 0 \iff \vec{a} = \vec{0}$.

   Ответ: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$

5. Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов.

   Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны). Это следует из определения скалярного произведения через косинус угла $\theta$ между векторами: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$. Произведение равно нулю, если $\cos\theta=0$, что соответствует углу $\theta = 90^\circ$.

   $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$ (при условии, что $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$)

   Ответ: для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их скалярное произведение равно нулю ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$) тогда и только тогда, когда они перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$).

578. Постройте угол, величина которого равна углу между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 139).

Рис. 139

Чтобы построить угол, равный углу между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, необходимо совместить начала этих векторов в одной точке. Для этого выполним следующие шаги:

1. Выберем на клетчатой бумаге произвольную точку $O$, которая будет служить вершиной искомого угла.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$. Судя по рисунку, вектор $\vec{a}$ смещается на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Соответственно, от точки $O$ отступаем 1 клетку влево и 2 клетки вверх и ставим точку $A$.
3. От той же точки $O$ отложим вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо. Соответственно, от точки $O$ отступаем 2 клетки вправо и ставим точку $B$.
4. Угол $\angle AOB$ является искомым углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для проверки правильности построения можно вычислить косинус угла между векторами. Введем систему координат с началом в точке $O$. Координаты векторов будут равны координатам их конечных точек: $\vec{a} = \vec{OA} = (-1; 2)$ и $\vec{b} = \vec{OB} = (2; 0)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 0 = -2$

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

Так как косинус угла отрицателен, угол $\alpha$ является тупым, что соответствует нашему построению.

Ответ: Искомый угол строится путем откладывания векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки $O$. Угол, образованный полученными векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, и есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

579. Постройте угол, величина которого равна углу между векторами $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ (рис. 140).

Рис. 140

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, отложенными от одной точки. Чтобы построить угол, величина которого равна углу между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать на плоскости произвольную точку O, которая будет вершиной угла.
2. Отложить от точки O вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{m}$. Глядя на рисунок, вектор $\vec{m}$ направлен на одну клетку вправо.
3. От той же точки O отложить вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{n}$. Вектор $\vec{n}$ направлен на две клетки вправо и на две клетки вверх.
4. Полученный угол $\angle AOB$ и есть искомый угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Чтобы найти точную величину этого угла, воспользуемся координатным методом. Примем длину стороны одной клетки за единицу. Тогда координаты векторов будут:

$\vec{m} = (1, 0)$
$\vec{n} = (2, 2)$

Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2$

Затем вычислим длины (модули) каждого вектора:
$|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равен $45^\circ$.

Ответ: Для построения угла нужно отложить векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ от одной произвольной точки. Угол, образованный полученными векторами, будет искомым. Величина этого угла составляет $45^\circ$.